Exercícios Sobre Crescimento Exponencial

Este é um crescimento contínuo, então temos a fórmula $latex A=A_{0}{{e}^{kt}}$. Podemos reconhecer os seguintes dados:

• $latex A_{0}=100$
• $latex k=0,02$
• $latex t=240$

Então nós temos:

$latex f(240)=100{{e}^{0,02(240)}}\approx 12151$

Portanto, haverá 12.151 bactérias após 4 horas.

Aqui, temos a mesma fórmula do exercício anterior, mas agora temos que encontrar o tempo sabendo a quantidade final. Podemos reconhecer os seguintes dados:

• $latex A_{0}=100$
• $latex k=0,02$
• $latex A=50000$

Então nós temos:

$latex 50 000=100{{e}^{0,02t}}$

$latex 500={{e}^{0,02t}}$

$latex \ln(500)=0,02t$

$latex t=\frac{\ln(500)}{0,02}$

$latex t\approx 310,73$

Assim, a população de bactérias chegará a 50.000 após 310,73 minutos.

Já temos uma fórmula dada: $latex A=10000({{e}^{0,005t}})$. Temos que calcular a população usando o tempo $latex t=10$. Então, substituímos $latex t=10$ para obter:

$latex A=10000({{e}^{0,005(10)}})$

$latex =10000({{e}^{0,05}})$

$latex =10000(1,0513)$

$latex =10513$

Portanto, a população da comunidade após 10 anos será de 10.513.

Quando temos um crescimento populacional contínuo, podemos modelar a população com a fórmula geral $latex P=P_{0}({{e}^{\lambda t}})$, onde $latex P_{0}$ representa a população inicial, λ é a constante de crescimento exponencial e t é o tempo.

Usando as informações fornecidas, precisamos encontrar a constante λ para completar a fórmula. Então nós temos:

$latex P=P_{0}({{e}^{\lambda t}})$

$latex 20000=10000({{e}^{20 \lambda}})$

$latex \frac{20000}{10000}={{e}^{20 \lambda}}$

$latex 2={{e}^{20 \lambda}}$

$latex \ln(2)=20 \lambda$

$latex \frac{\ln(2)}{20}=\lambda$

$latex 0,0347=\lambda$

Assim, podemos modelar o crescimento populacional da comunidade com a fórmula $latex P=10000({{e}^{0,0347 t}})$.

Podemos substituir os valores na fórmula pelas informações fornecidas:

$latex P=P_{0}({{e}^{0,1234t}})$

$latex 37500=12500({{e}^{0,1234t}})$

Agora, temos que resolver para o tempo:

$latex 37500=12500({{e}^{0,1234t}})$

$latex \frac{37500}{12500}=({{e}^{0,1234t}})$

$latex 3=({{e}^{0,1234t}})$

$latex \ln(3)=0,1234t$

$latex \frac{\ln(3)}{0,1234}=t$

$latex 8,9=t$

Portanto, a população da cidade chegou a 37.500 em 1989.

Sabemos que as bactérias crescem continuamente, então temos que usar a fórmula:

$latex A=A_{0}({{e}^{kt}})$

A bactéria dobra a cada 5 minutos, então após 5 minutos, teremos 2. Usamos isso para encontrar o valor de k:

$latex 2=1({{e}^{5k}})$

$latex \ln(2)=\ln({{e}^{5k}})$

$latex \ln(2)=5k$

$latex k=\frac{\ln(2)}{5}$

$latex k=0,13863$

Agora, formamos a equação usando este valor de k e resolvemos usando o tempo de 96 minutos:

$latex A=A_{0}({{e}^{0,13863t}})$

$latex A=1({{e}^{0,13863(96)}})$

$latex A\approx 602 248$