Domínio e Imagem de Funções Exponenciais

O domínio das funções exponenciais é igual a todos os números reais, uma vez que não temos restrições com os valores que x pode assumir. A imagem de funções exponenciais é igual aos valores acima ou abaixo da assíntota horizontal.

A seguir, veremos em detalhes como encontrar o domínio e a imagem de funções exponenciais. Além disso, veremos vários exemplos com os gráficos das funções para ilustrar essas idéias.

ALGEBRA
crescimento e decaimento exponencial

Relevante para

Aprender sobre o domínio e a imagem de funções exponenciais.

Ver exemplos

ALGEBRA
crescimento e decaimento exponencial

Relevante para

Aprender sobre o domínio e a imagem de funções exponenciais.

Ver exemplos

Como encontrar o domínio e a imagem de funções exponenciais?

Lembre-se de que o domínio é o conjunto de valores de entrada usados ​​para a variável independente.

Além disso, lembre-se de que a imagem é o conjunto de todos os valores de saída da variável dependente.

Para qualquer função exponencial com a forma geral $latex f(x) = a{{b}^x}$, o domínio é o conjunto de todos os números reais. Ou seja, temos:

$latex – \infty < x < \infty$

Para qualquer função exponencial com a forma geral $latex f(x)=a{{b}^x}$, a imagem é o conjunto de todos os números reais acima ou abaixo da assíntota horizontal, $latex y=d$. A imagem não inclui o valor da assíntota, d. Ou seja, temos:

Se $latex a>0, ~f(x)>d$

Se $latex a<0, ~f(x)<d$


Exemplos de domínio e imagem de funções exponenciais

EXEMPLO 1

Uma função exponencial simples como $latex f(x)={{2}^x}$ tem um domínio igual a todos os números reais. No entanto, sua imagem é igual apenas a números positivos, onde, $latex y>0$. Ou seja, a função $latex f(x)$ nunca assume um valor negativo.

Além disso, a função nunca atinge o valor 0, embora fique muito próximo quando x se aproxima do infinito negativo.

gráfico de função exponencial exemplo 1

EXEMPLO 2

Podemos substituir x por –x na função do exemplo anterior para obter a função $latex g(x)={{2}^{-x}}$. Vemos que o gráfico foi refletido em relação ao eixo y. No entanto, o domínio e a imagem não mudam. O domínio é igual a todos os números reais. E a imagem é igual apenas a números positivos, onde, $latex y>0$.

gráfico de função exponencial exemplo 2

EXEMPLO 3

Se pudermos agora colocar um sinal negativo na frente da função, temos $latex h(x)=-{{2}^x}$. Nesse caso, o gráfico é refletido em relação ao eixo x. O domínio ainda é todos os números reais de x. No entanto, a imagem agora é composta de todos os números negativos, onde, $latex y<0$.

gráfico de função exponencial exemplo 3

EXEMPLO 4

Encontre o domínio e a imagem da função $latex f(x)={{2}^{x + 3}}$

gráfico de função exponencial exemplo 4

Solução: O gráfico desta função é simplesmente o gráfico de $latex f(x)={{2}^x}$ traduzido 3 unidades para a esquerda.

A função é definida para todos os números reais, portanto, o domínio da função é o conjunto de números reais.

À medida que x se aproxima do infinito, a função também se aproxima do infinito e, à medida que x se aproxima do infinito negativo, a função se aproxima do eixo x, mas nunca o toca.

Portanto, a imagem é o conjunto de todos os números reais $latex \{y \in R | y> 0 \}$.

EXEMPLO 5

Qual é o domínio e a imagem da função $latex f(x)=1,5({{2}^x})+3$?

gráfico de função exponencial exemplo 5

Solução: Esta função também é definida para todos os números reais. Portanto, o domínio da função é o conjunto de números reais.

Vemos que, neste caso, $latex d=3$. Isso significa que a assíntota horizontal é igual a $latex y=3$ e a função tem uma imagem igual a todos os números reais maiores que 3.

Portanto, a imagem é o conjunto de todos os números reais $latex \{y \in R | y> 3 \}$.

EXEMPLO 6

Qual é o domínio e a imagem da função $latex f(x)=-{{3}^x}-1$?

gráfico de função exponencial exemplo 6

Solução: A função pode aceitar qualquer valor de x como entrada. Isso significa que o domínio é o conjunto de todos os números reais.

A função tem apenas valores negativos de y. Além disso, vemos que temos $latex d=-1$, então a assíntota horizontal é igual a $latex y=-1$. Portanto, a imagem é todos os valores menores que -1.

A imagem é o conjunto de todos os números reais $latex \{y \in R | y <-1 \}$.


Veja também

Você quer aprender mais sobre domínio e imagem? Olha para estas páginas:

Foto de perfil do autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

Aprenda matemática com nossos recursos adicionais em diferentes tópicos

APRENDER MAIS