O domínio das funções lineares é igual a todo o conjunto de números reais de x. Isso ocorre porque não temos nenhuma restrição aos valores de x. Da mesma forma, a imagem de funções lineares também é todo o conjunto de números reais em y.
A seguir, veremos mais detalhes sobre a imagem e o domínio das funções lineares. Além disso, veremos alguns exemplos que nos ajudarão a visualizar o domínio e a imagem de funções lineares.
O que é o domínio?
O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis que a variável independente pode ter. Geralmente, o domínio é definido como todos os valores possíveis de x.
O domínio pode ser determinado encontrando valores que tornam a função indefinida e extraindo esses valores do domínio. Na maioria dos casos, isso inclui evitar denominadores iguais a zero, pois a divisão por zero é indefinida.
Além disso, devemos evitar ter um valor negativo dentro de uma raiz quadrada ou outras raízes regulares, pois isso resultará em números imaginários.
O que é a imagem?
A imagem é definida como todos os valores possíveis da variável dependente que são obtidos usando todos os valores do domínio como entrada. Podemos considerar a imagem como todos os valores possíveis de y.
Encontrar a imagem é um pouco mais complicado, pois primeiro devemos ter conhecimento sobre o domínio. Para facilitar a localização da imagem, podemos representar graficamente a função com uma calculadora gráfica ou desenhar um gráfico simples da função para ter uma ideia de como seria sua imagem.
Domínio e imagem de funções lineares
Para encontrar o domínio de uma função linear, identificamos se temos denominadores que podem se tornar zero ou raízes quadradas que podem conter valores negativos. Sabemos que a forma geral de uma função linear é $latex f(x)=ax+b$.
Uma função linear não é composta de denominadores ou raízes quadradas, portanto, não temos nenhuma restrição no domínio da função. Isso significa que o domínio é igual a todos os números reais. Isso pode ser representado em notação de conjunto como:
$latex \{x | x \in R \}$
E em notação de intervalo como:
$latex (- \infty, \infty)$
O gráfico de uma função linear é uma linha reta. Essas funções não têm restrições, portanto, crescem de “menos” infinito para “mais” infinito. Isso significa que a imagem também é igual a todos os números reais e na notação de conjunto temos:
$latex \{y | y \in R \}$
EXEMPLO 1
Encontre o domínio e a imagem da função linear $latex y=2x-2$.
Solução: A primeira coisa que podemos ver é que não temos raízes quadradas ou denominadores. Isso significa que não teremos problemas com números negativos em raízes quadradas ou zeros em denominadores.
Portanto, podemos facilmente determinar que o domínio é composto por todos os números reais de x. A tabela a seguir mostra o domínio e a imagem desta função:
Como o gráfico da função é uma linha, podemos prever que a imagem é composta por todos os valores reais de y. A linha pode ir tão alta ou tão baixa quanto você quiser, sem limites. Podemos observar isso no gráfico da função:
EXEMPLO 2
Determine o domínio e a imagem da função linear $latex y=- \frac{1}{2}x+3$.
Solução: Semelhante ao problema anterior, não temos raízes quadradas nem denominadores. Portanto, sabemos que não estamos restritos a nenhum valor e que o domínio são todos os números reais de x. Isso será verdade com todas as funções lineares. A tabela a seguir mostra o domínio e a imagem desta função:
Da mesma forma, sabemos que a imagem será todos os valores reais de y. No gráfico da função, podemos ver que a linha pode resultar em qualquer valor de y. Esse sempre será o caso para funções lineares.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
