Funções quadráticas são algumas das relações que sempre encontraremos no estudo da álgebra. E uma das características importantes dessas funções é seu domínio e sua imagem.
A seguir, começaremos com uma revisão rápida do que o domínio e a imagem representam. Posteriormente, aprenderemos a encontrar o domínio e a imagem das funções quadráticas. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para dominar completamente este tópico.
Resumo de domínio e imagem
Domínio de uma função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente, que são comumente conhecidos como os valores de x.
Podemos encontrar o domínio identificando valores particulares de x que fazem com que a função se comporte “mal” e temos que excluir esses valores.
Para determinar o domínio, procuramos especialmente os valores de x que fazem o denominador zero, uma vez que não podemos ter divisão por zero e valores que nos fazem ter números negativos dentro de raízes quadradas.
Imagem de uma função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída obtidos usando os valores de x no domínio. Isso significa que precisamos primeiro encontrar o domínio para descrever a imagem. A imagem é comumente conhecida como os valores de y.
Encontrar a imagem é um pouco mais difícil do que encontrar o domínio. Para facilitar isso, é aconselhável representar graficamente a função com uma calculadora gráfica ou tentar obter um gráfico básico da função manualmente.
É importante ter uma ideia de como será o gráfico para descrever a imagem da função corretamente.
Como encontrar o domínio e a imagem de uma função quadrática?
O domínio das funções quadráticas pode ser encontrado determinando quais valores de x podemos usar e quais não podemos. Especificamente, devemos evitar valores de x que fazem com que a função tenha denominadores zero, pois eles resultariam na divisão por zero.
Além disso, devemos evitar valores de x que nos fazem ter valores negativos dentro da raiz quadrada ou outras raízes ímpares. No caso de funções quadráticas, não temos denominadores nem raízes quadradas, portanto não temos restrições com o domínio. Isso significa que o domínio é igual a todos os números reais em x.
Na notação de conjunto, isso é representado como:
$latex \{x | x \em R \}$
Na notação de intervalo, isso é representado como:
$latex (- \infty, + \infty)$
Sabemos que os gráficos das funções quadráticas têm máximos ou mínimos. Assim, para encontrar a imagem de uma função quadrática, temos que determinar seu ponto máximo ou mínimo. Isso pode ser facilmente encontrado fazendo um gráfico básico da função.
Alternativamente, a imagem pode ser encontrada determinando algebricamente o vértice do gráfico da função e determinando se o gráfico abre para cima ou para baixo. O gráfico abre se o coeficiente do termo quadrático é positivo e abre para baixo se o coeficiente do termo quadrático é negativo.
Exercícios de domínio e imagem de funções quadráticas resolvidos
Os exercícios a seguir podem ser usados para entender o processo aplicado para encontrar o domínio e a imagem das funções quadráticas. Tente resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre o domínio e a imagem da função $latex f(x)={{x}^2}+2$.
Solução
Usando vários valores de x, podemos verificar que não estamos restritos a nenhum valor, portanto, o domínio desta função são todos os números reais.
Determinar a imagem é um pouco mais complicado. Podemos desenhar um gráfico dessa função para ver qual é seu ponto mínimo ou máximo:
No gráfico, podemos observar que o valor mínimo da imagem é $latex y=2$ e a função possui valores maiores que isso. Isso significa que a imagem da função é $latex y \geq 2$.
EXERCÍCIO 2
Encontre o domínio e a imagem da função quadrática $latex f(x)=-{{x}^2}+4$.
Solução
O domínio desta função são todos os números reais, uma vez que não há valores de x que farão com que a função produza valores “inadequados”.
Para determinar a imagem, desenhamos um gráfico básico desta função:
Vemos que este gráfico abre para baixo. O gráfico tem um ponto máximo em $latex y=4$ e assume todos os valores menores que $latex y=4$. Então, a imagem desta função é $latex y \leq 4$.
EXERCÍCIO 3
Determine o domínio e a imagem da função $latex f(x)={{x}^2}+4x-1$.
Solução
A partir dos exercícios anteriores, já podemos perceber que as funções quadráticas possuem um domínio que é igual a todos os valores de x.
Para encontrar a imagem da função, podemos representar graficamente ou reescrever a função na forma de vértice e encontrar o ponto máximo ou mínimo.
A função é dada na forma canónica $latex f(x)=a{{x}^2}+bx+c$, então agora vamos convertê-la para a forma de vértice $latex f(x)=a{{(xh)}^2}+k$, onde, $latex (h, ~k)$ é o vértice. Então, completando o quadrado, temos:
$latex f(x)={{x}^2}+4x-1$
$latex =({{x}^2}+4x)-1$
$latex =({{x}^2}+4x+4)-1-4$
$latex ={{(x+2)}^2}-5$
O termo quadrático dessa função é positivo, então seu gráfico abre para cima. Isso significa que o vértice, que é igual a (-2, -5), representa o ponto mínimo. Portanto, a imagem é $latex y \geq -5$.
EXERCÍCIO 4
Encontre a imagem da função $latex f(x)=2{{x}^2}+12x+16$.
Solução
Além de usar o método de completar o quadrado para encontrar o vértice, também podemos usar fórmulas para encontrar o vértice diretamente. As coordenadas de h e k do vértice do gráfico são dadas por:
$latex h=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2(2)}=-3$
$latex k=f(-3)=-2$
O coeficiente do termo quadrático é positivo, o que significa que o gráfico da função abre para cima e o vértice (-3, -2) representa o ponto mínimo. A imagem da função é $latex y ≥ -2$.
Exercícios de domínio e imagem de funções quadráticas para resolver
Coloque em prática seu conhecimento de domínio e imagem para resolver os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
