As funções logarítmicas são as funções inversas das funções exponenciais. Isso significa que seu domínio e imagem foram trocados. O domínio das funções logarítmicas é igual a todos os números reais maiores ou menores que a assíntota vertical. A imagem de funções exponenciais é sempre igual a todos os números reais, uma vez que não temos restrições sobre os valores de saída.
A seguir, aprenderemos como determinar o domínio e a imagem das funções logarítmicas. Além disso, veremos alguns exemplos com os gráficos das funções para ilustrar essas ideias.
Como encontrar o domínio e a imagem de funções logarítmicas?
Os limites do domínio das funções logarítmicas resultam do fato de que é impossível obter o logaritmo de um número negativo. Por outro lado, as funções logarítmicas não têm limites na imagem.
Podemos olhar para o gráfico da função logarítmica “padrão” $latex f(x) = \log(x)$:
Vemos que o gráfico da função $latex f(x)=\log(x)$ tem um ponto-chave em (1, 0). A partir deste ponto, o gráfico tem uma assíntota à esquerda que se aproxima de $latex x=0$. Além disso, a partir do ponto (1, 0), o gráfico sobe gradualmente para a direita sem limite superior.
Ao visualizar o gráfico, podemos determinar facilmente o domínio e a imagem. Lembre-se de que o domínio é o conjunto de todos os valores que a variável independente pode assumir. Assim, o domínio da função logarítmica “padrão” é todos os números maiores que 0 até infinito positivo:
O domínio é $latex 0<x<+\infty $
Lembre-se de que a imagem é o conjunto de todos os valores que a variável dependente pode assumir. No gráfico, vemos que no lado esquerdo a função vai para o infinito negativo. No lado direito, vemos que a função sobe gradualmente e vai em direção ao infinito positivo.
Portanto, a imagem é igual a todos os números reais de infinito negativo a infinito positivo:
O intervalo é $latex -\infty<y<+\infty $
Agora, podemos determinar a imagem e o domínio de outras funções logarítmicas, considerando como a função e o gráfico mudam à medida que introduzimos várias constantes. Podemos usar as seguintes constantes:
$latex y = a ~ \log(x-h)+k$
Usando essas constantes, o ponto (1, 0) muda para $latex (h, ~k)$. A h representa a translação horizontal e k representa a translação vertical. O importante aqui é que a assíntota muda com o valor de h e isso muda para o domínio. No entanto, a imagem não é afetada e ainda contém todos os números reais.
Exemplos de domínio e imagem de funções logarítmicas
EXEMPLO 1
Qual é o domínio e a imagem da função $latex f(x)=\log(-x)$?
Solução: Esta mudança na função produz um reflexo em relação ao eixo y. Devido a esta reflexão, o ponto chave será (-1, 0). A partir daí, a função irá se aproximar da assíntota no lado direito e se aproximar de $latex x= 0$.
Do ponto-chave, a função aumentará gradualmente para o infinito no lado esquerdo. Portanto, o domínio vai de infinito negativo a 0:
Domínio: $latex -\infty<x<0$
A imagem ainda é todos os números reais:
Imagem: $latex -\infty<y<\infty$
Usando a notação de intervalo, temos:
Domínio: $latex (-\infty, 0)$
Imagem: $latex (-\infty, \infty)$
Podemos verificar isso no gráfico da função:
EXEMPLO 2
Encontre o domínio e a imagem de $latex f(x)=\log(x-3)$.
Solução: O valor h de 3 faz com que a função “padrão” e sua assíntota se movam 3 unidades para a direita. Isso muda o domínio da função. Então, o domínio é:
Domínio: $latex 3<x<\infty$
A imagem da função nunca muda, então permanece:
Imagem: $latex -\infty<x<\infty$
EXEMPLO 3
Encontre o domínio e a imagem da função $latex f(x)=3\log(x-3)+4$.
Solução: O 3 representa um trecho do gráfico e o 4 representa uma tradução vertical do gráfico. Esses dois valores não afetam o domínio ou a imagem da função logarítmica, portanto, o domínio e a imagem permanecem os mesmos do exemplo anterior:
Domínio: $latex 3<x<\infty$
Imagem: $latex -\infty<x<\infty$
EXEMPLO 4
Qual é o domínio e a imagem da função $latex f(x)=-\log(x+2)+1$?
Solução: Esta função possui um gráfico que é refletido em relação ao eixo x. No entanto, isso não altera o domínio ou a imagem. O único valor que afeta o domínio é -2, que produz uma tradução de 2 unidades à esquerda da função e de sua assíntota. Então, o domínio é:
Dominio: $latex -2<x<\infty$
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
