Neste artigo, aprenderemos a encontrar o domínio e a imagem de uma função racional usando seu gráfico ou usando regras algébricas definidas. Começaremos fazendo uma breve revisão do significado de domínio e imagem.
Posteriormente, veremos os métodos usados para encontrar o domínio e a imagem das funções racionais. Finalmente, veremos alguns exemplos elaborados que ilustram o uso desses métodos.
Qual é o domínio e a imagem das funções?
Se pensarmos em uma função como um mapeamento que relaciona uma entrada a uma saída, o domínio seria o conjunto de entradas e a imagem seria o conjunto de saídas. Vamos considerar o seguinte diagrama de mapeamento:
Podemos ver as entradas à esquerda e as saídas à direita. Aqui, o domínio é o conjunto {2, 4, 6} e a imagem é o conjunto {1, 5, 9}. Se considerarmos a função $latex f(x)=2x-3$ com o domínio {1, 2, 3, 4}, podemos encontrar a imagem substituindo cada um dos valores do domínio na função:
$latex f(1)=2(1)-3=-1$
$latex f(2)=2(2)-3=1$
$latex f(3)=2(3)-3=3$
$latex f(4)=2(4)-3=9$
Portanto, a imagem é o conjunto {-1, 1, 3, 9}.
Agora, vamos considerar a função $latex f(x)=2x-1$ com domínio $latex x \in R$ (significa que x pertence ao conjunto de todos os números reais). Pode ser útil olhar para o seu gráfico para facilitar a determinação da imagem:
Podemos ver que o gráfico é uma linha reta e cada entrada real tem uma saída real, e como a linha continua em direção ao infinito positivo e negativo, qualquer número real de saída é possível. Portanto, a imagem são todos os números reais.
Se olharmos agora para a função quadrática $latex f(x)={{x}^2}$, que tem um domínio que é todo composto por números reais, podemos olhar seu gráfico para determinar a imagem:
Vemos que para cada entrada, a saída é sempre positiva. Portanto, a imagem da função é igual a todos os números reais maiores ou iguais a zero.
Domínio e imagem das funções racionais
Geralmente, tendemos a definir o domínio e a imagem de funções em números reais, então faremos o mesmo aqui. No entanto, usaremos diferentes estratégias para encontrar o domínio e a imagem de funções racionais, uma vez que obter os gráficos dessas funções não é muito fácil.
Vamos considerar a seguinte função racional:
$latex f(x) = \frac{3}{x + 2}$
Observamos que, para uma entrada de -2, obtemos uma saída de $latex \frac{3}{0}$.
Sabemos que a divisão por zero é indefinida, então a função é indefinida neste ponto. No entanto, qualquer outra entrada terá uma saída de número real, então concluímos que o domínio são todos os números reais excluindo -2. Podemos escrever isso como:
$latex R- \{- 2 \}$
Considerando a natureza da função, podemos ver que qualquer número real de saída pode ser alcançado com exceção de zero. Isso ocorre porque à medida que x fica maior em magnitude, a saída fica menor, mas a saída nunca pode ser igual a zero. Portanto, a imagem da função é:
$latex R – \{0 \}$
Em geral, podemos calcular o domínio de uma função racional identificando qualquer ponto onde a função é indefinida. Isso significa encontrar qualquer ponto que torne o denominador igual a zero.
Para encontrar a imagem de uma função racional, podemos identificar qualquer ponto que não possa ser alcançado com nenhuma entrada. Isso geralmente é encontrado considerando os limites da função conforme a magnitude das entradas fica maior.
Domínio e imagem de funções racionais com exemplos
Os exemplos a seguir ilustram os conceitos detalhados acima.
EXEMPLO 1
Encontre o domínio e a imagem da função $latex f(x) = – \frac{1}{x-4}$.
Solução: Olhando o gráfico, parece que o domínio é $latex R – \{4 \}$ e o intervalo é $latex R – \{0\}$. No entanto, vamos verificar isso algebricamente.
Sabemos que uma função é indefinida para entradas que resultam em denominadores iguais a zero. Podemos formar uma equação com o denominador para encontrar o ponto indefinido:
$latex x-4=0$
$latex x=4$
Isso confirma que o domínio é $latex R – \{4 \}$. Para confirmar a imagem, temos que identificar os valores que não podem ser alcançados com o domínio determinado. À medida que x fica maior, a saída tende a zero, mas nunca se torna zero. Portanto, a imagem é $latex R – \{0 \}$.
EXEMPLO 2
Encontre o domínio e a imagem da função $latex f(x)= \frac{1}{x-10}$.
Solução: Neste caso não temos gráfico, portanto temos que resolver o problema algebricamente.
Novamente, sabemos que a expressão $latex \frac{1}{0}$ é indefinida, então formamos uma equação com o denominador para encontrar o ponto indefinido:
$latex x-10 = 0$
$latex x=10$
Portanto, sabemos que o domínio da função é $latex R – \{10 \}$. Para identificar a imagem, temos que identificar os valores que não podem ser alcançados com o domínio determinado. À medida que x fica maior, a saída tende a zero, mas nunca se torna zero. Portanto, a imagem é $latex R – \{0 \}$.
EXEMPLO 3
Encontre o domínio da função $latex f(x)=\frac{3}{x-3} + \frac{1}{x+4}$.
Solução: Sabemos que as funções racionais só são definidas quando seu denominador é diferente de zero. Nesta função, podemos ver que existem dois pontos para os quais não está definido: quando $latex x-3=0$ e $latex x+4=0$. Isso significa que a função é indefinida quando $latex x=-4$ e $latex x = 3$.
Portanto, o domínio da função são todos os números reais, exceto -4 e 3, denotados como $latex R – \{- 4, 3 \}$.
Se quisermos encontrar a imagem desta função, apesar do fato de que cada uma das expressões racionais não pode assumir o valor zero, existe uma entrada de x que resulta em zero, que é $latex x= -\frac{9}{4}$ Portanto, a imagem da função são todos os números reais (R).
EXEMPLO 4
Determine o domínio da função $latex f(x)=\frac{{{x}^2}+5}{5{{x}^3}+50x}$.
Solução: Lembramos que as funções racionais só são definidas quando seu denominador é diferente de zero. Então, para encontrar o domínio da função, temos que encontrar os zeros da equação no denominador:
$latex 5{{x}^3}+50x = 0$
Podemos fatorar a x:
$latex x(5{{x}^2}+50)=0$
Podemos ver que temos um zero quando $latex x=0$. No entanto, a quadrática $latex 5{{x}^2}+50$ não tem raízes reais. Portanto, o único zero no denominador é $latex x=0$. O domínio é composto por todos os números relativos, exceto zero, denotado por $latex R – \{0 \}$.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
