Podemos modelar situações da vida real com funções exponenciais. Uma dessas situações é o declínio populacional. Existem fórmulas “padrão” que podem ser usadas para calcular facilmente a população ou quantidade, conhecendo alguns fatos sobre a situação.
A seguir, revisaremos o que significa decaimento exponencial e conheceremos suas fórmulas. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos de decaimento exponencial que aplicam essas fórmulas.
Resumo do decaimento exponencial
O decaimento exponencial descreve o processo de redução de uma quantidade por uma porcentagem consistente durante um período de tempo. O decaimento exponencial é muito útil para modelar um grande número de situações da vida real.
Mais notavelmente, podemos usar o decaimento exponencial para monitorar o estoque que é usado regularmente na mesma quantidade, como alimentos para escolas ou refeitórios.
A seguir está a fórmula usada para modelar o decaimento exponencial. É importante reconhecer esta fórmula e cada um dos seus elementos:
| Decaimento Exponencial |
| $latex y=a{{(1-r)}^x}$ |
Lembre-se de que a função exponencial tem a forma básica $latex y=a{{b}^x}$. Assim, na fórmula de decaimento exponencial, substituímos b por $latex 1-r$. Portanto, temos:
- $latex a=$ valor inicial. Quantidade inicial antes da diminuição.
- $latex r=$ fator de decaimento. Representado como um decimal.
- $latex x=$ intervalo de tempo. O tempo passou.
Muitos eventos naturais podem ser modelados usando o exponencial e. Podemos pensar em e como uma constante universal que pode ser usada para representar o crescimento ou diminuição que ocorre com processos contínuos.
Além disso, usando e também podemos representar crescimento ou diminuição medidos periodicamente ao longo do tempo.
Assim, se temos quantidades que aumentam ou diminuem continuamente com uma porcentagem fixa, podemos modelar esses cenários com a seguinte fórmula:
| Decaimento Exponencial Contínuo |
| $latex A=A_{0}{{e}^{kt}}$ |
Nesta fórmula temos:
- $latex A=$ valor final. Quantidade após diminuição.
- $latex A_{0}=$ valor inicial. Quantidade antes da diminuição.
- $latex e=$ exponencial. e é aproximadamente igual a 2,718…
- $latex k=$ taxa de crescimento ou diminuição contínua. Também é chamada de constante de proporcionalidade.
- $latex t=$ tempo decorrido.
Exercícios de decaimento exponencial resolvidos
O que foi aprendido sobre decaimento exponencial é usado para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas tente resolver os exercícios você mesmo antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Um restaurante atendeu 5.000 clientes na segunda-feira. Houve uma inspeção sanitária e o restaurante obteve uma pontuação baixa, então na terça-feira o restaurante atendeu 2.500 clientes. Na quarta-feira, o restaurante atendeu 1.250 clientes e na quinta-feira apenas 625 clientes.
Quantos clientes terá o restaurante depois de cinco dias a partir de segunda-feira?
Solução
Podemos ver que o número de clientes diminui 50% a cada dia. Este tipo de diminuição é diferente da diminuição linear. No decaimento linear, a quantidade que diminui a cada dia seria a mesma a cada dia.
Neste caso, o valor inicial é 5000 e o fator de decaimento (r) seria 0,5. x representaria a quantidade de tempo em dias. Assim, podemos inserir esses valores na fórmula de decaimento exponencial:
$latex y=a{{(1-r)}^x}$
$latex y=5000{{(1-0,5)}^5}$
$latex y=312,5$
O resultado é 312,5, mas como não podemos ter meio cliente, arredondamos para 313 clientes.
EXERCÍCIO 2
Uma floresta tem uma população de 1000 pássaros. Devido ao desmatamento, a população de aves está diminuindo a uma taxa de 5% ao ano. Calcule o tamanho da população de aves após 10 anos.
Solução
Temos que começar encontrando a função de decaimento exponencial que modela a população de aves. Então, usamos a forma geral $latex y=a{{(1-r)}^x}$ com os seguintes dados:
- $latex a=1000$
- $latex r=0,05$
- $latex t=10$
Então nós temos:
$latex y=1000{{(1-0.05)}^{10}}$
$latex y=1000{{(0,95)}^{10}}$
$latex y=599$
A população de aves após 10 anos é de 599.
EXERCÍCIO 3
O valor de um modelo de carro diminui em valor a uma taxa contínua de 8% ao ano. Se um carro custa $20.000 quando novo, quanto valerá depois de 5 anos?
Solução
Este é um caso de diminuição contínua, então temos que usar a segunda fórmula dada acima. Usamos a fórmula $latex y=a{{e}^{kt}}$ com os seguintes dados:
- $latex a=20000$
- $latex k=-0,08$
- $latex t=5$
$latex y=20000({{e}^{-0,08(5)}})$
$latex =20000({{e}^{-0,40}})$
$latex =13406,4$
Então, depois de 5 anos, o carro custará 13.406,4 USD.
EXERCÍCIO 4
Reescreva a função do problema anterior na forma $latex y=a{{b}^x}$.
Solução
Para escrever a função $latex y=20000{{e}^{-0,08t}}$ na forma $latex y=a{{b}^x}$, podemos usar a substituição $latex b={{e }^k}$. Então nós temos:
$latex b={{e}^k}$
$latex b={{e}^{-0,08}}$
$latex b=0,9231$
⇒ $latex y=20000{{(0,9231)}^x}$
Também podemos encontrar o valor de r usando $latex b=1+r$. Então nós temos:
$latex b=0,9231$
$latex 1+r=0,9231$
$latex r=0,9231-1$
$latex r=-0,0769$
Isso significa que a taxa de crescimento anual do preço do carro é de 7,69%.
EXERCÍCIO 5
O carbono-14 é um isótopo radioativo do carbono. Sua presença em materiais orgânicos é a base do método de datação por radiocarbono. As quantidades de carbono-14 presentes nos materiais permitem determinar a idade dos corpos de prova.
Um artefato tinha 12 gramas de carbono-14. Quantos gramas de carbono-14 estarão presentes no artefato após 10.000 anos se o modelo $latex A=12{{e}^{-0,000121t}}$ descreve a quantidade de carbono-14 presente após t anos?
Solução
Nesse caso, precisamos encontrar a quantidade de carbono-14 presente após 10.000 anos. Então, temos que resolver a variável A substituindo o valor $latex t=10000$:
$latex A=12{{e}^{-0,000121t}}$
$latex A=12{{e}^{-0,000121(10000)}}$
$latex A=12{{e}^{-1,21}}$
$latex A=3,58$
Assim, após 10.000 anos, o artefato terá cerca de 3,58 gramas de carbono-14.
EXERCÍCIO 6
Um artefato encontrado em um sítio arqueológico continha 20% do carbono-14 original. Determine a idade do artefato usando o modelo de decaimento exponencial para carbono-14 $latex A=A_{0}{{e}^{-0,000121t}}$.
Solução
Neste caso, queremos encontrar a idade do artefato, então precisamos resolver para t.
Não temos valores específicos para $latex A$ e $latex A_{0}$. No entanto, sabemos que o carbono-14 encontrado é 20% do original, então podemos usar $latex A=0,2A_{0}$. Então nós temos:
$latex A=A_{0}{{e}^{-0,000121t}}$
$latex 0,2A_{0}=A_{0}{{e}^{-0,000121t}}$
Se dividirmos ambos os lados por $latex A_{0}$, teremos:
$latex 0,2={{e}^{-0,000121t}}$
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para remover a exponencial:
$latex \ln(0,2)=\ln({{e}^{-0,000121t}})$
$latex \ln(0,2)=-0,000121t$
$latex t=13301$
Portanto, a idade do artefato é de aproximadamente 13,301 anos.
→ Calculadora de Equações Exponenciais
Exercícios de decaimento exponencial para resolver
Pratique o que você aprendeu sobre decaimento exponencial com os seguintes exercícios. Resolva os exercícios e selecione uma resposta. Verifique sua resposta para certificar-se de que selecionou a correta.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
