Funções exponenciais têm a forma $latex y={{b}^x}$, onde $latex b>0$. As funções exponenciais são funções que permanecem proporcionais ao seu valor original à medida que aumenta ou diminui. Se b>1, a função aumenta e se 1>b>0, a função diminui.
Neste artigo, aprenderemos sobre os gráficos de funções exponenciais e sobre suas propriedades. Veremos alguns exemplos práticos.
Definições de funções exponenciais
Em sua forma mais básica, uma função exponencial pode ser pensada como uma função em que a variável aparece no expoente. A função exponencial mais simples é uma função da forma $latex y = {{b}^x}$, onde b é um número positivo.
Quando temos $latex b>1$, a função cresce de forma proporcional ao seu valor original. Isso é chamado de crescimento exponencial.
Quando temos $latex 1>b>0$, a função diminui de forma proporcional ao seu valor original. Isso é chamado de decaimento exponencial.
Gráficos de funções exponenciais
Vejamos os seguintes exemplos de como representar graficamente funções exponenciais.
EXEMPLO 1
Suponha que queremos representar graficamente a função $latex y={{2}^x}$. Uma maneira de fazer isso é escolher valores para x e usá-los na função para gerar valores para y. Fazendo isso, podemos obter os seguintes pontos:
$latex \left( {-2,\frac{1}{4}} \right),~\left( {-1,\frac{1}{2}} \right),~\left( {0,~1} \right),~\left( {1,~2} \right)$ y $latex ( {2,~4}).$
Conforme conectamos esses pontos, podemos ver que formamos uma curva que cruza o eixo y através do ponto (0, 1). Este gráfico aumenta à medida que os valores de x ficam maiores. Podemos ver que este gráfico tende para o infinito à medida que os valores de x vão para o infinito.
Da mesma forma, podemos ver que, à medida que os valores de x ficam cada vez menores, a curva fica cada vez mais perto do eixo x. A curva se aproxima de zero conforme os valores de x se aproximam do infinito negativo. Como a curva nunca toca o eixo x, temos que o eixo x é uma assíntota horizontal da função.
Para qualquer função exponencial da forma $latex y={{b}^x}$, onde temos $latex b>1$, temos o ponto (1, b) no gráfico.
EXEMPLO 2
Agora, considere a função $latex y={{(\frac{1}{2})}^x}$ quando $latex 1>b>0$. Semelhante ao exemplo anterior, podemos representar graficamente esta função exponencial usando vários valores de x e substituindo-os na função para obter os valores de y e formando as seguintes coordenadas cartesianas:
$latex \left( {-2, 4} \right),~\left( {-1, 2} \right),~\left( {0,~1} \right),~\left( {1,~\frac{1}{2}} \right)$ y $latex ( {2, \frac{1}{4}}).$
Quando conectamos os pontos formados por essas coordenadas cartesianas, vemos que a curva formada cruza o eixo y através do ponto (0, 1). O gráfico desta função exponencial diminui à medida que os valores de x aumentam. O gráfico se aproxima de zero à medida que os valores de x tendem ao infinito.
Isso significa que o gráfico possui uma assíntota horizontal no eixo x. Podemos observar também que o gráfico tende ao infinito, pois os valores de x têm infinito negativo.
Para qualquer função exponencial da forma $latex y={{b}^x}$, onde temos $latex 1>b>0$, temos o ponto (1, b) no gráfico.
Comparando seus gráficos, podemos ver que o gráfico de $latex y=(\frac{1}{2})^x$ é simétrico ao gráfico de $latex y={{2}^x}$ em relação ao eixo y:
Limitação de b para números positivos
O valor de b é limitado a números maiores que 1 devido aos seguintes motivos:
• Se tivermos $latex b=1$, a função se torna $latex y={{1}^x}$. Sabemos que 1 elevado a qualquer potência é igual a 1, então teríamos realmente a função $latex y=1$. Esta função produz uma linha horizontal, então não obteríamos uma função exponencial.
• Se b for negativo, quando elevarmos b a uma potência par, obteremos números positivos. No entanto, quando elevamos b a uma potência ímpar, obteremos números negativos. Isso significa que é impossível conectar os pontos de forma significativa, portanto, não obteremos uma forma semelhante aos gráficos mostrados acima.
Propriedades de gráficos de funções exponenciais
A seguir estão as propriedades que todos os gráficos exponenciais compartilham:
• O ponto (0, 1) está sempre no gráfico da função exponencial da forma $latex y={{b}^x}$, porque b é um número positivo e todos os números positivos elevados à potência de zero são iguais a 1
• O ponto (1, b) está sempre no gráfico da função exponencial da forma $latex y={{b}^x}$. Isso ocorre porque qualquer número b elevado à potência de 1 é igual a b.
• A função $latex y={{b}^x}$ sempre produzirá valores positivos. Como b é um número positivo, sempre obteremos valores positivos quando elevado a qualquer potência.
• O eixo x é uma assíntota horizontal da função $latex y={{b}^x}$ porque a função sempre se aproxima do eixo x conforme x se aproxima do infinito positivo ou negativo, mas nunca cruza o eixo x, pois o função nunca é igual a 0.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
