Existem três métodos básicos para representar graficamente funções lineares. A primeira é traçar pontos e, em seguida, desenhar uma linha para conectar os pontos. O segundo método é usar a interceptação em y e a inclinação. O terceiro método é aplicar transformações na função $latex f(x)=x$.
A seguir, aprenderemos a representar graficamente funções lineares usando os três métodos mencionados. Além disso, veremos alguns exemplos de prática.
ALGEBRA
Relevante para…
Aprender a representar graficamente funções lineares com métodos diferentes.
ALGEBRA
Relevante para…
Aprender a representar graficamente funções lineares com métodos diferentes.
Gráficos de funções lineares com pontos
Podemos usar diferentes valores de entrada e avaliar a função com esses valores para obter diferentes coordenadas cartesianas. A seguir, plotamos esses pontos em uma grade. Devemos avaliar a função com pelo menos dois valores de entrada diferentes para obter pelo menos dois pontos diferentes para podermos representar graficamente a função.
Por exemplo, se temos a função $latex f(x)=x+2$, podemos usar os valores de entrada 1 e 2. Avaliando a função com o valor de entrada 1, obtemos o valor de saída 3, que forma o ponto com coordenadas cartesianas (1, 3). Usando o valor de entrada 2, obtemos o valor de saída 4, formando o ponto com as coordenadas (2, 4).
Para evitar erros, podemos usar três pontos. Assim, se a linha não passa pelos três pontos, sabemos que erramos.
Como fazer o gráfico uma função linear usando pontos?
Passo 1: Escolha um mínimo de dois valores de entrada.
Passo 2: Avalie a função em cada valor de entrada.
Passo 3: Use os valores de saída resultantes para formar as coordenadas cartesianas.
Passo 4: Represente graficamente as coordenadas cartesianas em uma grade.
Passo 5: Desenhe uma linha através dos pontos.
EXEMPLO 1
Represente graficamente a função $latex f(x)=2x-3$ usando pontos.
Solução: começamos escolhendo os valores de entrada. Vamos escolher três valores diferentes. Vamos escolher -2, 0 e 2.
Avalie a função em cada valor de entrada e use o valor de saída para formar as coordenadas cartesianas dos pontos:
$latex x=-2$ $latex f(-2)=2(-2)-3=-7$ ⇒$latex (-2, -7)$
$latex x=0$ $latex f(0)=2(0)-3=-3$ ⇒$latex (0, -3)$
$latex x=2$ $latex f(2)=2(2)-3=1$ ⇒$latex (2, 1)$
Representamos graficamente os pontos e traçamos uma linha que passa por esses pontos. A seguir está o gráfico de $latex f(x)=2x-3$:
Podemos ver que, como esperávamos, o gráfico da função é uma linha reta. Esta linha se inclina para cima, indicando uma inclinação positiva.
EXEMPLO 2
Represente graficamente a função $latex f(x)=-\frac{1}{3}x+4$ usando pontos.
Solução: começamos escolhendo os valores de entrada. Agora temos uma fração, então podemos escolher múltiplos de 3 ou 0 para tornar o problema mais fácil. Vamos escolher três números diferentes. Vamos escolher -3, 0 e 3.
Usamos cada um dos valores de entrada para obter valores de saída e formar as coordenadas cartesianas dos pontos:
$latex x=-3$ $latex f(-3)=-\frac{1}{3}(-3)+4=5$ ⇒$latex (-3, 5)$
$latex x=0$ $latex f(0)=-\frac{1}{3}(0)+4=4$ ⇒$latex (0, 4)$
$latex x=3$ $latex f(3)=-\frac{1}{3}(3)+4=3$ ⇒$latex (3, 3)$
Colocamos esses pontos no plano cartesiano e traçamos uma linha que passa por eles. A seguir está o gráfico de $latex f(x)=- \frac{1}{3}x+4$:
Novamente, vemos que o gráfico da função é uma linha reta. Esta linha se inclina para baixo, indicando uma inclinação negativa.
Gráficos de funções lineares com declive e interceptação
Em vez de usar pontos, outra maneira de representar graficamente funções lineares é usar as principais características das funções lineares. A primeira característica é a interceptação y, que é o ponto em que o valor de x é 0. Para encontrar a interceptação y, simplesmente usamos o valor $latex x = 0$ na função.
A outra característica da função linear é seu declive, m, que é uma medida da inclinação da linha. O declive em uma função linear é igual à taxa de mudança nos valores de saída sobre a taxa de mudança nos valores de entrada. Ou seja, a inclinação é a mudança nos valores de y sobre a mudança nos valores de x.
Encontramos o declive e a interceptação y das funções lineares. Vamos usar essas características para representar graficamente essas funções. Vejamos a seguinte função:
$latex f(x)=2x-5$
O declive é 2. Como o declive é positivo, sabemos que a linha terá uma inclinação ascendente, ou seja, ela cresce da esquerda para a direita. A interceptação y é o ponto no gráfico quando $latex x = 0$. Portanto, o gráfico cruza o eixo y no ponto (0, -5). Agora que sabemos o declive e a interceptação y, podemos começar plotando o ponto (0, -5). Sabemos que o declive é a mudança em y sobre a mudança em x. Aqui temos $latex m = 2$, o que significa que a mudança em y é 2 e a mudança em x é 1. Partindo do ponto (0, -5), podemos avançar 1 em x e 2 em y. Repetimos até termos vários pontos e traçar uma linha.
Como fazer o gráfico funções lineares usando declive e interceptação y?
Passo 1: Avalie a função com $latex x = 0$ para encontrar a interceptação y.
Passo 2: Identifique o declive.
Passo 3: Represente graficamente o ponto que representa a interceptação y.
Passo 4: Identifique mais pontos na linha usando a mudança em y sobre a mudança em x.
Passo 5: Desenhe a linha que passa pelos pontos.
EXEMPLO 1
Represente graficamente a função $latex f(x)=3x-3$ usando o declive e a interceptação em y.
Solução: Avalie a função no ponto $latex x=0$ para encontrar a interceptação y. O valor da função quando $latex x=0$ é -3, então o gráfico cruza o eixo y no ponto (0, -3). O declive da linha é 3. Isso nos diz que cada vez que movemos 1 unidade no eixo x, movemos 3 unidades no eixo y. Depois de marcar vários pontos, traçamos uma linha através desses pontos:
Podemos ver que o gráfico aumenta da esquerda para a direita, portanto tem uma inclinação positiva conforme o esperado.
EXEMPLO 2
Represente graficamente a função $latex f(x)=- \frac{1}{2}x + 5$ usando o declive e a interceptação em y.
Solução: Avaliamos a função no ponto $latex x=0$ para encontrar a interceptação y. Quando temos $latex x=0$, o valor da função é 5, então o ponto de interseção é (0, -3). Vemos que o declive da linha é $latex -\frac{1}{2}$. Isso significa que cada vez que movemos 2 unidades no eixo x, movemos -1 unidade no eixo y. Marcamos vários pontos e desenhamos uma linha que cruza esses pontos:
Desta vez, o gráfico diminui da esquerda para a direita, o que significa que a inclinação é negativa
Gráficos de funções lineares com transformações
Outra maneira de representar graficamente as funções é usando transformações na função de identidade $latex f(x)=x$. Uma função pode ser transformada movendo-a para cima, para baixo, para a esquerda ou para a direita. Também podemos transformar uma função esticando, encolhendo ou espelhando-a.
Compressão vertical ou estiramento
Na equação $latex f(x) = mx$, o m está atuando como a compressão vertical ou alongamento da função. Quando m é negativo, também temos um reflexo da função em relação ao eixo x. Quanto maior o valor de m, mais íngreme será a linha:
Translação vertical
Quando temos $latex f(x)=mx + b$, o b atua como a translação vertical, que move o gráfico para cima ou para baixo sem afetar a inclinação. Se b for positivo, o gráfico é movido b unidades para cima e se b for negativo, o gráfico é movido b unidades para baixo.
Como fazer o gráfico funções lineares usando transformações?
Passo 1: Represente graficamente a função $latex f(x)=x$.
Passo 2: Amplie ou reduza o gráfico verticalmente por um fator de m.
Passo 3: Mova o gráfico para cima ou para baixo em unidades b.
EXEMPLO 1
Represente graficamente a função $latex f(x)=4x-2$ usando transformações.
Solução: A equação da função mostra que $latex m = 4$, então o gráfico é alongado verticalmente em 4. A equação da função também mostra que $latex b= -2$, então o gráfico é movido 2 unidades para baixo.
Primeiro, representamos graficamente a função de identidade e aplicamos o alongamento vertical:
Em seguida, aplicamos a translação vertical:
EXEMPLO 2
Represente graficamente a função $latex f(x)= – \frac{1}{3}x + 2$ usando transformações.
Solução: Podemos ver que $latex m = – \frac{1}{3}$, então o gráfico é reduzido verticalmente por $latex \frac{1}{3}$. Também podemos ver que $latex b=2$, então temos que traduzir o gráfico em 2 unidades.
Primeiro, representamos graficamente a função de identidade e aplicamos a compressão vertical:
Em seguida, aplicamos a translação vertical:
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
