Gráficos de Funções Trigonométricas

Seno, cosseno e tangente são as funções trigonométricas mais importantes. Para obter os gráficos das funções trigonométricas precisamos conhecer o período, a fase e a amplitude. Os gráficos de cossecante, secante e cotangente são obtidos considerando que são funções recíprocas de seno, cosseno e tangente, respectivamente.

Neste artigo, aprenderemos sobre as representações gráficas das funções seno, cosseno e tangente. Também aprenderemos sobre a amplitude, fase e período dessas funções.

ALGEBRA

Relevante para…

Aprender a representar graficamente as funções trigonométricas fundamentais.

Ver os gráficos

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Gráfico do seno

A função seno é uma das funções trigonométricas fundamentais. Podemos escrever $latex y= \sin(x)$ ou $latex f(x)=\sin(x)$. A seguir está o gráfico do seno:

A função seno tem as seguintes características:

As raízes ou zeros de $latex y=\sin(x)$ são múltiplos de π.
O gráfico do seno passa pela origem, pois quando x é 0, temos $latex \sin(0)=0$.
O período da função seno é 2π.
A altura da curva em cada ponto é igual ao valor da função seno em cada ponto.
O valor máximo da função é 1 quando $latex x=\frac{\pi}{2}$.
O valor mínimo da função é -1 quando $latex x=\frac{3\pi}{2}$.

Gráfico do cosseno

Para o cosseno, podemos escrever $latex y=\cos(x)$ ou $latex f(x)=\cos(x)$. A seguir está o gráfico do cosseno:

A seguir estão as características do gráfico da função cosseno:

Temos essa identidade $latex \sin(x+\frac{\pi}{2}) =\cos (x)$.
O gráfico do cosseno é o gráfico que obtemos se movermos para o gráfico do seno
$latex \frac{\pi}{2}$ unidades à esquerda.
As raízes ou zeros da função cosseno são os múltiplos de π/2.
O gráfico do seno cruza o eixo y no ponto (0, 1).
O período da função cosseno é 2π.
O valor máximo da função é 1 quando $latex x=0$.
O valor mínimo da função é -1 quando x é π.

Podemos observar as seguintes semelhanças entre gráficos de seno e gráficos de cosseno:

Ambos produzem a mesma curva, que é movida ao longo do eixo x.
Ambos têm amplitude de 1.
Ambos têm um período de 2π ou 360 °.

O gráfico a seguir nos mostra uma comparação das funções seno e cosseno:

Gráfico da tangente

O gráfico da tangente é completamente diferente em comparação com o gráfico do seno e do cosseno. O gráfico da função tangente tem valores que variam de infinito negativo a infinito positivo e cruza o eixo x ao longo de um período de π radianos:

A seguir estão as características da função tangente:

As raízes ou zeros da função são os múltiplos de π.
O gráfico da tangente passa pela origem.
O gráfico da tangente tem amplitude indefinida porque a curva vai ao infinito.
O período da função seno é π ou 180 °.

Gráfico da cossecante

A cossecante é a função recíproca do seno. Isso significa que a função cossecante é obtida dividindo 1 pelo seno. Assim, a função cossecante torna-se indefinida quando o seno é igual a 0 (múltiplos de π).

A seguir estão algumas características importantes da função cossecante:

A cosecante não tem raízes ou zeros. Podemos ver que o gráfico não toca o eixo x.
A cossecante é indefinida em múltiplos de π. Ou seja, tem assíntotas nesses pontos.
A imagem da função cossecante são todos os números reais, exceto -1<y<1.
O gráfico da cossecante tem uma amplitude indefinida.
O período da função cossecante é 2π ou 360°.

Gráfico da secante

A secante é a função recíproca do cosseno. Ou seja, podemos obter a função secante dividindo 1 pelo cosseno. Assim, a função secante torna-se indefinida quando o cosseno é igual a 0 (π/2±nπ, onde n é um inteiro).

A seguir temos algumas características importantes da função secante:

A função secante nunca toca o eixo x. Isso significa que não tem raízes ou zeros.
A secante tem assíntotas em múltiplos de π/2, pois é indefinida nesses pontos.
O intervalo da função secante são todos os números reais, exceto -1<y<1.
A secante tem amplitude indefinida.
O período da função secante é 2π ou 360°.

Gráfico da cotangente

A cotangente é a função recíproca da tangente. Ou seja, a cotangente é equivalente a 1 dividido pela função tangente. Assim, a função cotangente resulta indefinida quando a tangente é igual a 0 (múltiplos de π).

A seguir temos algumas características importantes da função cotangente:

Os zeros ou raízes da cotangente estão localizados em π/2±nπ, onde n é um número inteiro.
A cotangente é indefinida em múltiplos de π. Ou seja, tem assíntotas nesses pontos.
A imagem da cotangente são todos os números reais.
O gráfico da cotangente tem uma amplitude indefinida.
O período da função cotangente é π ou 180°.

Amplitude das funções trigonométricas

A amplitude é a altura da linha central de uma função trigonométrica até seu ponto máximo ou mínimo. A amplitude é o valor absoluto pelo qual uma função trigonométrica é multiplicada.

A amplitude também pode ser medida tomando a altura do ponto mais alto do ponto mais baixo e dividindo por 2. A amplitude nos diz quão alto ou baixo é o gráfico de uma função trigonométrica.

Período das funções trigonométricas

O período é a medida de dois pontos equivalentes no gráfico, por exemplo, um ponto máximo, até o próximo ponto equivalente. A seguir está uma representação gráfica do período da função seno:

Fase das funções trigonométricas

Fase é uma medida do movimento horizontal de uma função trigonométrica a partir de sua posição original. A seguir está uma representação gráfica da fase da função seno:

Como representar graficamente as funções trigonométricas?

Existem vários métodos que podem ser usados para representar graficamente funções trigonométricas. A seguir está uma explicação detalhada de um dos métodos mais eficientes para representar graficamente funções trigonométricas.

Para traçar o gráfico das funções trigonométricas, devemos começar convertendo a função dada para a forma geral $latex a\sin(bx-c)+d$. Desta forma, podemos encontrar facilmente os diferentes parâmetros como amplitude, fase, período e translação vertical, onde: