Os graus são uma escolha humana. O número 360 vem da astronomia antiga e se divide bem, mas não tem nada a ver com o círculo em si. O radiano tem. Ele mede um ângulo pelo arco que ele abrange, usando o próprio raio da circunferência como régua.
Essa ideia única explica por que $latex \pi$ aparece em toda fórmula de trigonometria, por que as fórmulas de comprimento de arco e de área de setor são tão curtas e por que o cálculo exige radianos. Arraste o ponto abaixo e veja o arco se estender sobre a régua.
O que é um radiano?
Um radiano é o ângulo no centro de um círculo que abrange um arco exatamente do tamanho do raio. Pegue o raio, dobre-o sobre a circunferência e o ângulo que ele cobre mede 1 radiano. Na ferramenta acima, cada trecho da régua mede um raio, então o número de trechos que o arco cobre é o ângulo em radianos.
Para qualquer ângulo central $latex \theta$ que abrange um arco de comprimento $latex s$ numa circunferência de raio $latex r$:
$$\theta=\frac{s}{r}$$
É uma razão entre dois comprimentos, então o radiano não tem unidade. Escrever "rad" é opcional e serve só de lembrete.
Por que uma volta completa tem 2π radianos
A circunferência mede $latex 2\pi r$, ou seja, $latex 2\pi$ raios. Por isso uma volta completa são $latex 2\pi$ radianos, meia volta são $latex \pi$ e um quarto de volta são $latex \frac{\pi}{2}$. É por isso que a régua da ferramenta termina em $latex \pi$ na primeira linha e em $latex 2\pi$ na segunda.
Como $latex \pi\text{ rad}=180^{\circ}$, um radiano é um pouco menos que 60 graus:
$$1\text{ rad}=\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57{,}2958^{\circ}$$
Converter entre graus e radianos
Multiplique pela fração adequada para que a unidade indesejada se cancele:
$$\text{radianos}=\text{graus}\times\frac{\pi}{180}\qquad\qquad \text{graus}=\text{radianos}\times\frac{180}{\pi}$$
Para praticar muitas conversões, veja nossos artigos de graus para radianos e de radianos para graus. Aqui o objetivo é entender o que os números significam.
Ângulos notáveis no círculo unitário
O círculo unitário (ou círculo trigonométrico) é a circunferência de raio 1 com centro na origem. Alguns ângulos aparecem o tempo todo, e seu seno e seu cosseno são valores exatos que vale conhecer.
| Graus | Radianos | cos | sin |
|---|---|---|---|
| 0° | $latex 0$ | $latex 1$ | $latex 0$ |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \frac{1}{2}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | $latex 0$ | $latex 1$ |
| 120° | $latex \frac{2\pi}{3}$ | $latex -\frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 135° | $latex \frac{3\pi}{4}$ | $latex -\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 150° | $latex \frac{5\pi}{6}$ | $latex -\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \frac{1}{2}$ |
| 180° | $latex \pi$ | $latex -1$ | $latex 0$ |
| 270° | $latex \frac{3\pi}{2}$ | $latex 0$ | $latex -1$ |
| 360° | $latex 2\pi$ | $latex 1$ | $latex 0$ |
Você não precisa decorar a tabela. Para 0°, 30°, 45°, 60° e 90°, os valores do seno são $latex \frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$. Os do cosseno são a mesma lista de trás para frente. As outras linhas são imagens espelhadas dessas, com os sinais dados pelo quadrante.
Seno e cosseno como coordenadas
Esta é a imagem por trás das definições. Parta do ponto $latex (1,0)$ e avance no sentido anti-horário pelo círculo unitário até o arco medir $latex \theta$. Você chega ao ponto:
$$P(\theta)=(\cos\theta,\ \sin\theta)$$
O segmento azul horizontal da ferramenta é $latex \cos\theta$ e o vermelho vertical é $latex \sin\theta$. Como o ponto está numa circunferência de raio 1, $latex x^2+y^2=1$, o que dá a identidade $latex \cos^2\theta+\sin^2\theta=1$.
- Quadrante I (de 0 a $latex \frac{\pi}{2}$): cosseno positivo, seno positivo.
- Quadrante II (de $latex \frac{\pi}{2}$ a $latex \pi$): cosseno negativo, seno positivo.
- Quadrante III (de $latex \pi$ a $latex \frac{3\pi}{2}$): ambos negativos.
- Quadrante IV (de $latex \frac{3\pi}{2}$ a $latex 2\pi$): cosseno positivo, seno negativo.
Numa circunferência de raio $latex r$, o mesmo ponto é $latex (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$.
Por que os radianos simplificam as fórmulas
Com o ângulo em radianos, o comprimento do arco e a área do setor não precisam de fator de conversão:
$$s=r\theta\qquad\qquad A=\frac{1}{2}r^2\theta$$
Em graus, as mesmas fórmulas carregam um $latex \frac{\pi}{180}$ extra, por exemplo $latex s=\frac{\pi r\theta}{180}$. O cálculo vai mais longe: a derivada de $latex \sin x$ é $latex \cos x$ só quando $latex x$ está em radianos. Em graus surge um fator incômodo de $latex \frac{\pi}{180}$ toda vez. Nossos artigos sobre o arco da circunferência e a área de um setor circular desenvolvem essas fórmulas em detalhe.
Exercícios resolvidos de radianos
Resolva cada problema antes de abrir a solução.
EXERCÍCIO 1
Converta $latex 150^{\circ}$ para radianos e $latex \frac{7\pi}{4}$ para graus.
Solução
$$150^{\circ}\times\frac{\pi}{180}=\frac{150\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$$
$$\frac{7\pi}{4}\times\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{7\cdot 180^{\circ}}{4}=315^{\circ}$$
Reduza a fração de $latex \pi$ o máximo possível: $latex \frac{150\pi}{180}$ é $latex \frac{5\pi}{6}$.
EXERCÍCIO 2
Encontre o comprimento do arco numa circunferência de raio 8 cm para um ângulo central de $latex \frac{3\pi}{4}$ radianos.
Solução
$$s=r\theta=8\cdot\frac{3\pi}{4}=6\pi\approx 18{,}85$$
O arco mede 6π cm, ou seja, cerca de 18,85 cm.
EXERCÍCIO 3
Encontre a área de um setor de raio 6 m e ângulo central $latex \frac{2\pi}{3}$.
Solução
$$A=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot\frac{2\pi}{3}=12\pi\approx 37{,}7$$
O setor tem área de 12π m², cerca de 37,7 m².
EXERCÍCIO 4
Encontre as coordenadas do ponto de uma circunferência de raio 10 com centro na origem, no ângulo $latex \frac{5\pi}{6}$.
Solução
O ângulo é $latex 150^{\circ}$, no quadrante II. Pela tabela, $latex \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $latex \sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$.
$$(x,y)=\left(10\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\ 10\cdot\frac{1}{2}\right)=(-8{,}66,\ 5)$$
A coordenada x é negativa, como esperado no segundo quadrante.
EXERCÍCIO 5
O ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 cm. Quanto a ponta dele percorre em 20 minutos?
Solução
Em 20 minutos o ponteiro gira um terço de volta: $latex \theta=\frac{1}{3}\cdot 2\pi=\frac{2\pi}{3}$ radianos.
$$s=r\theta=12\cdot\frac{2\pi}{3}=8\pi\approx 25{,}13$$
A ponta percorre cerca de 25,13 cm.
EXERCÍCIO 6
Uma roda de bicicleta de raio 0,35 m gira 5 radianos. Quanto a bicicleta avança e quantos graus são?
Solução
$$s=r\theta=0{,}35\cdot 5=1{,}75\text{ m}$$
$$5\text{ rad}\times\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 286{,}48^{\circ}$$
A bicicleta avança 1,75 m, e 5 radianos são cerca de 286,48 graus, um pouco menos que uma volta completa.
Uma noção do tamanho de um radiano
Vale guardar alguns tamanhos de referência, para que uma resposta errada pareça errada logo de cara:
- 0,5 rad são cerca de 28,6° e 1 rad são cerca de 57,3°.
- 2 rad são cerca de 114,6° e 3 rad são cerca de 171,9°, um pouco menos que meia volta.
- 3,14 rad ($latex \pi$) é exatamente meia volta, e 6,28 rad ($latex 2\pi$) é uma volta completa.
Um uso rápido dessa noção: se a sua calculadora está em modo radianos e você digita sin(30), obtém -0,988 em vez de 0,5, porque 30 radianos são mais de quatro voltas completas. Um resultado tão longe de 0,5 é sinal de que o modo está errado.
Onde você vai reencontrar os radianos
Quando você pensa em raios, dois assuntos futuros ficam mais fáceis. Na física, a velocidade angular é medida em radianos por segundo, e um ponto a distância $latex r$ do eixo se move com velocidade $latex v=r\omega$. Um disco girando a $latex 33\frac{1}{3}$ rotações por minuto tem $latex \omega=33\frac{1}{3}\cdot\frac{2\pi}{60}\approx 3{,}49$ rad/s, então um sulco a 0,1 m do centro se move a cerca de 0,35 m/s.
No cálculo, o limite $latex \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ vale apenas quando $latex x$ está em radianos. Esse único fato faz a derivada do seno resultar em cosseno sem constantes extras.
Erros comuns
- Calculadora no modo errado. Se o seu ângulo está em radianos, mude para RAD antes de apertar sin ou cos.
- Escrever $latex \pi=180$. O correto é $latex \pi\text{ radianos}=180^{\circ}$. O número $latex \pi$ vale cerca de 3,14.
- Usar graus em $latex s=r\theta$. A fórmula precisa de $latex \theta$ em radianos, ou você deve converter antes.
- Achar que 1 radiano é um ângulo minúsculo. Ele mede cerca de 57,3 graus.
- Perder o sinal das coordenadas. Decida primeiro o quadrante e depois use o ângulo de referência.
- Deixar frações sem reduzir, como $latex \frac{150\pi}{180}$ em vez de $latex \frac{5\pi}{6}$.
Exercícios de radianos para resolver
Use as fórmulas e a tabela acima. Abra cada resposta para conferir.
1. Converta $latex 240^{\circ}$ para radianos.
Resposta
$latex 240\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{4\pi}{3}$ radianos.
2. Converta $latex \frac{11\pi}{6}$ radianos para graus.
Resposta
$latex \frac{11\cdot 180^{\circ}}{6}=330^{\circ}$.
3. Um arco numa circunferência de raio 5 cm abrange um ângulo de 1,4 radiano. Quanto mede o arco?
Resposta
$latex s=5\cdot 1{,}4=7$ cm.
4. Encontre a área de um setor de raio 10 cm e ângulo central $latex \frac{\pi}{5}$.
Resposta
$latex A=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot\frac{\pi}{5}=10\pi\approx 31{,}42$ cm².
5. Dê as coordenadas exatas do ponto no ângulo $latex \frac{5\pi}{4}$ do círculo unitário.
Resposta
$latex \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, no quadrante III, onde as duas coordenadas são negativas.
6. Um ponto do círculo unitário no quadrante II tem coordenada x igual a $latex -0{,}6$. Encontre sua coordenada y e seu ângulo em radianos.
Resposta
$latex y=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8$. O ângulo é $latex \theta=\arccos(-0{,}6)\approx 2{,}2143$ radianos, cerca de 126,87°.
Perguntas frequentes
Por que um círculo completo tem 2π radianos?
Porque a circunferência mede $latex 2\pi r$ e cada raio de arco é um radiano. Uma volta completa contém $latex 2\pi$ raios.
Quantos graus tem um radiano?
Cerca de 57,2958 graus, que sai de $latex \frac{180}{\pi}$.
O radiano tem unidade?
É uma razão entre dois comprimentos, então é adimensional. Escrever "rad" só indica ao leitor qual medida de ângulo você usa.
Quando uso graus e quando radianos?
Os graus servem para ângulos do dia a dia e para construir. Use radianos em comprimento de arco, área de setores, gráficos de funções trigonométricas e tudo de cálculo e física.
Como uso radianos na calculadora?
A maioria tem um modo RAD. Digitar sin(π/6) no modo RAD dá 0,5, igual a sin(30) no modo DEG.
Calculadoras relacionadas
Pratique e confira com estas ferramentas:
- Círculo Trigonométrico Interativo
- Calculadora de Graus para Radianos
- Calculadora de Seno
- Calculadora de Cosseno
Veja também
Mais sobre ângulos, circunferências e o círculo unitário: