O seno de um ângulo é uma função que relaciona os lados de um triângulo retângulo. Especificamente, o seno é encontrado tomando o lado oposto ao ângulo e dividindo-o pela hipotenusa do triângulo. Fora do triângulo, a função seno pode ser usada para encontrar a componente y de um vetor que tem qualquer ângulo. O seno também é equivalente ao cosseno do ângulo complementar.
A seguir, aprenderemos mais sobre o seno dos ângulos. Conheceremos os valores do seno de ângulos importantes e resolveremos alguns exercícios práticos.
Definição do seno de um ângulo
O seno de um ângulo é definido usando um triângulo retângulo. Quando temos um triângulo retângulo, o seno é igual ao comprimento do lado oposto ao ângulo dividido pelo comprimento da hipotenusa do triângulo.
Por outro lado, o seno também pode ser definido como o cosseno do ângulo complementar. Por sua vez, o ângulo complementar é definido como 90° (um ângulo reto) menos o ângulo dado. Por exemplo, o complemento do ângulo 30° é igual a 90°-30°=60°. Assim, para um ângulo θ, temos a seguinte relação:
$latex \sin (\theta)=\cos (90^{\circ}-\theta)$
Em radianos, temos:
$latex \sin (\theta)=\cos (\frac{\pi}{2}-\theta)$
Senos em triângulos retângulos
Podemos definir o seno usando o seguinte triângulo retângulo que possui um ângulo reto em C.
Geralmente, usamos letras minúsculas para denotar os lados de triângulos e letras maiúsculas para denotar os respectivos ângulos. Por exemplo, o lado a é o lado oposto ao ângulo A, o lado b é o lado oposto ao ângulo B e o lado c é o lado oposto ao ângulo C.
Todos os triângulos têm ângulos internos que somam 180°. Sabemos que o ângulo C mede 90°, então sabemos que os ângulos A e B devem somar 90° (ângulos complementares).
Assim, podemos deduzir que o seno do ângulo A é igual ao cosseno do ângulo B. O seno de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao lado oposto dividido pela hipotenusa:
| $latex \sin=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}$ |
Usando isso, temos as relações $latex \sin(A)=\frac{a}{c}$ e $latex \sin(B)=\frac{b}{c}$ no triângulo acima.
Senos para ângulos especiais comuns
Os valores dos senos dos ângulos mais importantes podem ser encontrados usando as proporções dos triângulos especiais. Para encontrar o valor do seno 45°, usamos um triângulo retângulo isósceles, que tem ângulos de 45°-45°-90°.
Em um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$. No entanto, no caso do triângulo 45°-45°-90°, temos $latex a=b$, então o teorema de Pitágoras se torna $latex {{c}^2}=2{{a}^ 2}$.
Resolvendo, obtemos $latex c=a\sqrt{2}$. Usando isso, determinamos que tanto o seno quanto o cosseno de 45° são iguais a $latex \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Também podemos usar o triângulo 30°-60°-90° para encontrar os valores do seno de 30° e 60°. As razões dos lados deste triângulo são 1:$latex \sqrt{3}$:2. Usando essas proporções, temos $latex \sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ e também temos $latex \sin(60^{\circ})=\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
| Graus | Radianos | Seno |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | 1 |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{1}{2}$ |
| 0° | 0 | 0 |
Exercícios de seno de um ângulo resolvidos
Os exercícios a seguir são resolvidos usando o que foi aprendido sobre o seno de um ângulo. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você mesmo tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Se temos $latex \cos(A)=0,25$ e $latex a=5$, qual é o valor de c?
Solução
Usamos o triângulo retângulo acima para obter as relações corretas. Assim, podemos usar a equação $latex \sin(A)=\frac{a}{c}$. Usando esta equação com os valores dados e resolvendo para c, temos:
$latex \cos(A)=\frac{a}{c}$
$latex 0,25=\frac{5}{c}$
$latex c=\frac{5}{0,25}$
$latex c=20$
O valor da hipotenusa é 20.
EXERCÍCIO 2
Temos $latex b=8$ e $latex \sin(B)=\frac{1}{4}$. Qual é o valor de c?
Solução
Se usarmos o triângulo retângulo acima, temos a equação $latex \cos(B)=\frac{b}{c}$. Então usamos essa equação junto com os valores dados e resolvemos para c:
$latex \cos(B)=\frac{b}{c}$
$latex \frac{1}{4}=\frac{8}{c}$
$latex c=4(8)$
$latex c=32$
O valor da hipotenusa é 32.
EXERCÍCIO 3
Qual é o valor de B se temos $latex b=5$ e $latex c=9$?
Solução
Usamos esta relação: $latex \sin(B)=\frac{b}{c}$. Substituindo os valores dados, temos:
$latex \sin(B)=\frac{b}{c}$
$latex \sin(B)=\frac{5}{9}$
$latex \sin(A)=0,556$
Usamos a função $latex {{\sin}^{-1}}$ em uma calculadora para obter o resultado:
$latex {{\sin(0,556)}^{-1}}=33,8$°
O ângulo B mede 33,8°.
→ Calculadora de Seno (Graus e Radianos)
Exercícios de seno de um ângulo para resolver
Use o que você aprendeu sobre senos de ângulos para resolver os seguintes exercícios práticos. Selecione uma resposta e verifique-a para ter certeza de que acertou.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
