O cosseno de um ângulo é encontrado relacionando aos lados de um triângulo retângulo. O cosseno é igual ao comprimento do lado adjacente ao ângulo dividido pelo comprimento da hipotenusa. O cosseno também é igual ao seno do ângulo complementar. Os valores de cosseno dos ângulos mais importantes podem ser obtidos usando as proporções dos triângulos conhecidos.
A seguir, aprenderemos mais detalhadamente sobre o cosseno de ângulos e resolveremos alguns exercícios práticos.
Definição do cosseno de um ângulo
O cosseno de um ângulo de um triângulo retângulo é definido como o comprimento do lado adjacente ao ângulo dividido pelo comprimento da hipotenusa do triângulo.
Além disso, o cosseno de um ângulo é definido como o seno do ângulo complementar. O ângulo complementar é igual ao ângulo dado subtraído de 90° (um ângulo reto). Por exemplo, se temos o ângulo de 40°, seu complemento é de 50°. Assim, para qualquer ângulo θ, temos:
$latex \cos (\theta)=\sin (90^{\circ}-\theta)$
Em radianos, temos:
$latex \cos (\theta)=\sin (\frac{\pi}{2}-\theta)$
Triângulos retângulos e cossenos
Vamos olhar para o triângulo retângulo ABC que tem um ângulo reto em C.
Geralmente, usamos a letra a para denotar o lado oposto ao ângulo A, usamos a letra b para denotar o lado oposto ao ângulo B e usamos a letra c para denotar o lado oposto ao ângulo C.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° e o ângulo C mede 90°, sabemos que os ângulos A e B são complementares, ou seja, somam 90°.
Isso significa que o cosseno de B é igual ao seno de A. O cosseno de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao lado adjacente dividido pela hipotenusa:
| $latex \cos=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}$ |
No triângulo acima, temos $latex \cos(A)=\frac{b}{c}$ e também $latex \cos(B)=\frac{a}{c}$.
Cossenos para ângulos especiais comuns
Podemos obter o resultado de cossenos de ângulos especiais com base nas proporções dos lados. Por exemplo, o ângulo de 45° é encontrado em um triângulo retângulo isósceles, que tem ângulos de 45°-45°-90°.
Sabemos que os triângulos retângulos têm a relação $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$, mas neste caso, $latex a=b$, então temos $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$. Isso significa que temos $latex c=a\sqrt{2}$.
Portanto, tanto o seno quanto o cosseno de 45° são iguais a $latex \frac{1}{\sqrt{2}}$, que pode ser escrito como $latex \frac{\sqrt{2}}{2} $.
No caso do triângulo retângulo com ângulos 30°-60°-90°, as proporções de seus lados são 1:$latex \sqrt{3}$:2. Usando essas proporções, temos $latex \sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ e também temos $latex \sin(60^ {\circ})=\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
| Graus | Radianos | Cosseno |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | 0 |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{1}{2}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 0° | 0 | 1 |
Exercícios resolvidos de cosseno de um ângulo
Os exercícios a seguir podem ser usados para aplicar o processo usado para resolver problemas envolvendo cossenos. Estes e os exercícios seguintes referem-se ao triângulo retângulo usado acima.
EXERCÍCIO 1
Se temos $latex \cos(A)=0,2$ e $latex b=3$, qual é o valor de c?
Solução
Referindo-se ao triângulo retângulo acima, vemos que temos $latex \cos(A)=\frac{b}{c}$. Podemos usar os valores dados nesta equação e resolver para c:
$latex \cos(A)=\frac{b}{c}$
$latex 0,2=\frac{3}{c}$
$latex c=\frac{3}{0,2}$
$latex c=15$
O valor da hipotenusa é 15.
EXERCÍCIO 2
Se tivermos $latex a=10$ e $latex \cos(B)=\frac{1}{3}$, encontre o valor de c.
Solução
Do triângulo retângulo acima, podemos deduzir que temos $latex \cos(B)=\frac{a}{c}$. Usando os valores dados na fórmula e resolvendo para c, temos:
$latex \cos(B)=\frac{a}{c}$
$latex \frac{1}{3}=\frac{10}{c}$
$latex c=3(10)$
$latex c=30$
O valor da hipotenusa é 30.
EXERCÍCIO 3
Qual é o valor de A se temos $latex b=5$ e $latex c=8$?
Solução
Podemos formar a seguinte relação $latex \cos(A)=\frac{b}{c}$. Então, usando os valores dados, temos:
$latex \cos(A)=\frac{b}{c}$
$latex \cos(A)=\frac{5}{8}$
$latex \cos(A)=0,625$
Agora usamos a função $latex {{\cos}^{-1}}$ em uma calculadora para obter o resultado:
$latex {{\cos(0,625)}^{-1}}=51,3$°
O ângulo A mede 51,3°.
→ Calculadora de Cosseno (Graus e Radianos)
Exercícios de cosseno de um ângulo para resolver
Pratique o que você aprendeu sobre o cosseno de um ângulo para resolver os seguintes exercícios práticos. Se precisar de ajuda com isso, consulte os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
