A função cosseno é uma função trigonométrica periódica. Uma função periódica é uma função que se repete várias vezes em ambas as direções. O período da função cosseno é 2π, então o valor da função é igual a cada 2π unidades.
Por exemplo, sabemos que temos cos(π)=1. Toda vez que adicionamos 2π aos valores de x da função, obtemos cos(π+2π). Isso é equivalente a cos(3π). Temos o resultado cos(π)=1 e como a função é periódica, também temos o resultado cos(3π)=1.
Período da função cosseno básica
A função cosseno em sua forma mais básica é $latex y=\cos(x)$. Essa função pode ser usada para qualquer valor real, então podemos usar todos os valores reais de x. Isso significa que a função se estende indefinidamente para a direita e para a esquerda.
Usando um gráfico da função cosseno, podemos determinar seu período observando a distância entre os pontos “equivalentes”. Ou seja, o período da função $latex y=\cos(x)$ é a distância no eixo x entre padrões repetidos.
Podemos ver facilmente que o gráfico se repete após 2π. Portanto, concluímos que o período da função é 2π. Temos esse período porque no círculo unitário, 2π é igual a uma revolução completa ao redor do círculo.
Isso significa que se tivéssemos um valor maior que 2π, estaríamos simplesmente repetindo a volta ao redor do círculo unitário e obteríamos valores equivalentes aos ângulos entre 0 e 2π.
Período de outras variações da função cosseno
O período da função cosseno em sua forma básica, $latex y=\cos(x)$, é 2π. Este período pode ser modificado multiplicando a variável x por uma constante.
Podemos reduzir o período da função multiplicando x por um número maior que 1. Isso fará com que a função seja “acelerada” e o período se torne menor.
Isso significa que a função ocorrerá mais rapidamente e levará menos tempo para começar a ser repetida. Por exemplo, na função $latex y=\cos(2x)$, o período é π, que é metade do período da função original.
Quando multiplicamos a variável x por um número fracionário maior que 0 e menor que 1, faremos com que a função fique mais lenta e tenha um período maior.
Isso significa que a função levará mais tempo para começar a se repetir. Por exemplo, na função $latex y=\cos(\frac{x}{2})$, o período é 4π, que é o dobro do período da função original.
Encontrando o período de uma função cosseno
Podemos determinar o período de uma função cosseno usando o coeficiente da variável x. Este coeficiente é normalmente representado pela letra B. Assim, a forma padrão da função cosseno é $latex y=\sin(Bx)$. Usando esta forma, podemos obter a seguinte fórmula:
| $latex \text{Período}=\frac{2\pi}{|B|}$ |
Isso significa que para obter o período, basta dividir 2π por |B|, onde |B| é o valor absoluto de B. Para encontrar o valor absoluto, basta pegar a versão positiva do número. Por exemplo, se temos -2, seu valor absoluto é 2.
Podemos usar essa fórmula mesmo quando temos outras variações da função cosseno. Por exemplo, se temos a função $latex y=2\cos(2x+5)$, pegamos apenas o coeficiente da variável x:
$latex \text{Período}=\frac{2\pi}{|B|}$
$latex \text{Período}=\frac{2\pi}{2}$
$latex \text{Período}=\pi$
Exercícios de período de função cosseno resolvidos
Os exercícios a seguir são resolvidos usando a fórmula para o período das funções cosseno. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você mesmo tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Se tivermos a função $latex y=\cos(3x)$, qual é o seu período?
Solução
Podemos identificar o valor $latex |B|=5$. Usando esse valor na fórmula do período, temos:
$latex \text{Período}=\frac{2\pi}{|B|}$
$latex \text{Período}=\frac{2\pi}{5}$
O período da função é $latex \frac{2}{5}\pi$.
EXERCÍCIO 2
Qual é o período da função cosseno $latex y=2\cos(4x)-3$?
Solução
A função tem uma forma mais complexa que a anterior, mas precisamos apenas do coeficiente de x. Assim, reconhecemos o valor $latex |B|=4$ e o usamos na fórmula do período:
$latex \text{Período}=\frac{2\pi}{|B|}$
$latex \text{Período}=\frac{2\pi}{4}$
$latex \text{Período}=\frac{\pi}{2}$
O período desta função é $latex \frac{\pi}{2}$.
EXERCÍCIO 3
Qual é o período da função $latex y=\frac{1}{3}(-\frac{1}{5}x-2)$?
Solução
Novamente, usamos apenas o coeficiente de x para encontrar o período. Nesse caso, o coeficiente é negativo, então tomamos apenas seu valor positivo. Então, usamos o valor $latex |B|=\frac{1}{5}$ na fórmula do período:
$latex \text{Período}=\frac{2\pi}{|B|}$
$latex \text{Período}=\frac{2\pi}{\frac{1}{5}}$
$latex \text{Período}=10\pi$
O período da função é $latex 10\pi$.
Exercícios de período de funções cosseno para resolver
Use o que você aprendeu para resolver os exercícios a seguir sobre o período das funções cosseno. Se precisar de ajuda com isso, consulte os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
