Funções trigonométricas inversas são funções que “revertem” o efeito causado pela função trigonométrica original. As derivadas destas funções são obtidas usando um triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras.
A seguir, vamos aprender as fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas inversas. Depois, aplicaremos estas fórmulas para resolver alguns exercícios.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas inversas.
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Aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas inversas.
Fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas inversas
Derivada da função seno inversa (arcsin)
A derivada da função seno inversa padrão é:
$$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Você pode explorar a demonstração e as versões alternativas da derivada de seno inverso neste artigo.
Derivada da função cosseno inversa (arccos)
A derivada da função cosseno inversa padrão é:
$$\frac{d}{dx}(\cos^{-1}(x))=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Você pode explorar a demonstração e as versões alternativas da derivada de cosseno inverso neste artigo.
Derivada da função tangente inversa (arctan)
A derivada da função tangente inversa padrão é:
$$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
Você pode explorar a demonstração e versões alternativas da derivada da tangente inversa neste artigo.
Derivada da função cossecante inversa (arccsc)
A derivada da função cossecante inversa padrão é:
$$\frac{d}{dx}(\csc^{-1}(x))=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$
Você pode explorar a demonstração e versões alternativas da derivada da cossecante inversa neste artigo.
Derivada da função secante inversa (arcsec)
A derivada da função secante inversa padrão é:
$$\frac{d}{dx}(\sec^{-1}(x))=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$
Você pode explorar a demonstração e versões alternativas da derivada da secante inversa neste artigo.
Derivada da função cotangente inversa (arccot)
A derivada da função cotangente inversa padrão é:
$$\frac{d}{dx}(\cot^{-1}(x))=-\frac{1}{1+x^2}$$
Você pode explorar a prova e as versões alternativas da derivada da cotangente inversa neste artigo.
Exercícios resolvidos sobre derivadas de funções trigonométricas inversas
EXERCÍCIO 1
Encontre a derivada da seguinte função:
$latex f(x)=\cos^{-1}(5x^2+10)$
Solução
Para derivar esta função, usamos a regra da cadeia com $latex y=\cos^{-1}(u)$ e com $latex u=5x^2+10$.
Então, com a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}(10x)$$
Substituindo $latex u=5x^2+1$, temos:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-(5x^2+10)^2}}(10x)$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{10x}{\sqrt{1-(5x^2+10)^2}}$$
EXERCÍCIO 2
Derivar a seguinte função:
$latex f(x)=\sin^{-1}(4x^2+8)$
Solução
Esta é uma função seno inversa composta. Então, usamos a regra da cadeia com $latex y=\sin^{-1}(u)$ e com $latex u=4x^2+8$.
Pela regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}(8x)$$
Substituindo $latex u=4x^2+8$, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(4x^2+8)^2}}(8x)$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{8x}{\sqrt{1-(4x^2+8)^2}}$$
EJERCICIO 3
Encontre a derivada da seguinte função:
$latex f(x)=\tan^{-1}(2x^3+2)$
Solução
Neste caso, usamos a regra da cadeia com $latex y=\tan^{-1}(u)$ e com $latex u=2x^3+2$.
Pela regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{ 1+u^2}(6x^2)$$
Substituindo $latex u=2x^3+2$, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+(2x^3+2)^2}(6x^2)$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{6x^2}{1+(2x^3+2)^2}$$
EJERCICIO 4
Encontre a derivada da seguinte função:
$latex f(x)=\sec^{-1}(8x^2+4)$
Solução
Vamos usar a regra da cadeia com $latex y=\sec^{-1}(u)$ e com $latex u=8x^2+4$.
Então, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{ |u|\sqrt{u^2-1}}(16x)$$
Substituindo $latex u=8x^2+4$, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{ |8x^2+4|\sqrt{(8x^2+4)^2-1}}(16x)$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{16x}{ 4(2x^2+1)\sqrt{(8x^2+4)^2-1}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{4x}{ (2x^2+1)\sqrt{(8x^2+4)^2-1}}$$
Derivadas de funções trigonométricas inversas – Exercícios para resolver
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
