As derivadas das equações paramétricas são encontradas derivando cada equação em relação a t. Então, a regra da cadeia é usada para obter uma derivada de y em relação a x.
A seguir, vamos aprender como encontrar as derivadas das equações paramétricas. Vamos usar vários exemplos e exercícios práticos.
Diferenciação das equações paramétricas
Vamos aprender como encontrar as derivadas das equações paramétricas usando um exemplo.
Considere as seguintes equações paramétricas:
$latex x=t+1~~$ $latex ~~y=t^2$
Quando derivamos $latex x$ com respeito a $latex t$ e quando derivamos $latex y$ com respeito a $latex t$, temos:
$latex \dfrac{dx}{dt}=1~~$ $latex ~~\dfrac{dy}{dt}=2t$
Usando a regra da cadeia, podemos escrever da seguinte forma:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
Então, temos:
$$\frac{dy}{dx}=2t(1)=2t$$
Como temos $latex x=t+1$, podemos escrever $latex t=x-1$ e a derivada é:
$$\frac{dy}{dx}=2t$$
$$\frac{dy}{dx}=2x-2$$
Exercícios resolvidos sobre derivadas paramétricas
EXERCÍCIO 1
Encontre $latex \dfrac{dy}{dx}$ em termos do parâmetro $latex t$ para:
$latex y=3t^2+2t$
$latex x=1-2t$
Solução
Começamos por encontrar as derivadas $latex \frac{dy}{dt}$ e $latex \frac{dx}{dt}$:
- Quando $latex y=3t^2+2t$, temos: $latex \dfrac{dy}{dt}=6t+2$
- Quando $latex x=1-2t$, temos: $latex \dfrac{dx}{dt}=-2$
Usando a regra da cadeia, podemos escrever o seguinte:
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$
$$=(6t+2)\left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$ \frac{dy}{dx}=-3t-1$$
EXERCÍCIO 2
O que é o derivado $latex \dfrac{dy}{dx}$ das seguintes equações? Escreva-a em termos do parâmetro $latex t$.
$latex y=(1+2t)^3$
$latex x=t^3$
Solução
Vamos encontrar as derivadas $latex \frac{dy}{dt}$ e $latex \frac{dx}{dt}$:
- Quando $latex y=(1+2t)^3$, temos: $latex \dfrac{dy}{dt}=3(1+2t)^2(2)$. Então: $latex \dfrac{dy}{dt}=6(1+2t)^2$
- Quando $latex x=t^3$, temos: $latex \dfrac{dx}{dt}=3t^2$
Com a regra da cadeia, temos:
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$
$$=6(1+2t)^2\times \frac{1}{3t^2}$$
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{2(1+2t)^2}{t^2}$$
EXERCÍCIO 3
Encontre $latex \dfrac{dy}{dx}$ em termos de $latex t$ a partir das seguintes equações:
$latex x=3t^4$
$latex y=2t^2-3$
Solução
Temos que encontrar as derivadas $latex \frac{dy}{dt}$ e $latex \frac{dx}{dt}$:
- Quando $latex y=2t^2-3$, temos: $latex \dfrac{dy}{dt}=4t$
- Quando $latex x=3t^4$, temos: $latex \dfrac{dx}{dt}=12t^3$
Agora, podemos usar a regra da cadeia para encontrar $latex \dfrac{dy}{dx}$:
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$
$$=4t\times \frac{1}{12t^3}$$
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3t^2}$$
EXERCÍCIO 4
O que é a derivada $latex \dfrac{dy}{dx}$ das seguintes equações? Escreva-a em termos de $latex t$.
$latex x=2\sqrt{t}$
$latex y=5t-4$
Solução
Começamos encontrando as derivadas $latex \frac{dy}{dt}$ e $latex \frac{dx}{dt}$:
- Quando $latex y=5t-4$, temos: $latex \dfrac{dy}{dt}=5$
- Quando $latex x=2\sqrt{t}=2t^{\frac{1}{2}}$, temos: $latex \dfrac{dx}{dt}=t^{-\frac{1}{2}}$
Agora, encontramos $latex \dfrac{dy}{dx}$ usando a regra da cadeia:
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$
$$=5\times \frac{1}{t^{-\frac{1}{2}}}$$
$$ \frac{dy}{dx}=5\sqrt{t}$$
EXERCÍCIO 5
Encontre a equação da reta tangente à curva dada parametricamente por $latex x=\frac{2}{t}$ e $latex y=3t^2-1$ no ponto (2, 2).
Solução
Podemos encontrar o valor do parâmetro $latex t$, substituindo $latex x=2$, $latex y=2$ nas equações
$latex x=\dfrac{2}{t}~~$ $latex ~~y=3t^2-1$
Isto dá $latex t=1$.
Ao diferenciarmos parametricamente, temos:
$latex \dfrac{dy}{dt}=6t~~$ $latex ~~\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{2}{t^2}$
Quando $latex t=1$, temos:
$$\frac{dy}{dx}\Big|_{t=1}=-3$$
Isto significa que o declive da reta tangente é -3. Então, a equação da tangente tem a forma
$latex y=-3x+c$
Desde que a reta tangente passa pelo ponto (2, 2), temos:
$latex 2=-3(2)+c$
$latex c=8$
A equação da reta tangente é $latex y=-3x+8$.
EXERCÍCIO 6
Encontre a segunda derivada $latex \dfrac{d^2y}{dx^2}$ em termos de $latex t$ das seguintes equações paramétricas:
$latex x=t+1$
$latex y=t^3$
Solução
Derivando cada equação com respeito a $latex t$, temos:
$latex \dfrac{dy}{dt}=1~~$ $latex ~~\dfrac{dy}{dt}=3t^2$
Usando a regra da cadeia, temos
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}=3t^2$$
Agora, derivamos cada termo desta equação com respeito a $latex x$ para encontrar a segunda derivada:
$$\frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}(3t^2)$$
Como não podemos derivar $latex 3t^2$ em relação a $latex x$, usamos a regra da cadeia:
$$\frac{d}{dx}(3t^2)=\frac{d}{dt}(3t^2) \frac{dt}{dx}$$
$$=6t \frac{dt}{dx}$$
Substituindo isto, temos:
$$\frac{d^2y}{dx^2}=6t \frac{dt}{dx}$$
Como $latex \frac{dx}{dt}=1$, podemos escrever:
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=1$$
Então, a segunda derivada é:
$$\frac{d^2y}{dx^2}=6t (1)=6t$$
Derivadas paramétricas – Ejercicios para resolver
A derivada $latex \frac{dy}{dx}$ em termos de t das equações $latex x=4t(t-2)$ e $latex y=(t-1)^3$ é uma fração. Qual é o numerador?
Escreva o numerador na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
