Equações paramétricas são equações em que y é uma função de x, mas tanto x como y são definidas em termos de uma terceira variável. A terceira variável é o parâmetro das equações. Frequentemente, a variável t é usada neste tipo de equação.
A seguir, vamos aprender sobre as equações paramétricas com exercícios resolvidos. Além disso, vamos ver alguns exercícios para resolver.
Resumo das equações paramétricas
Nas equações paramétricas, $latex y$ é definido como uma função de $latex x$ expressando tanto $latex y$ como $latex x$ em termos de uma terceira variável conhecida como parâmetro.
Por exemplo, as seguintes equações são equações paramétricas onde o parâmetro é $latex t$.
$latex x=t+1~~~[1]$
$latex y=t^2~~~[2]$
Estas equações paramétricas definem a parábola com a equação:
$latex y=x^2-2x+1$
Podemos obter isto eliminando o parâmetro $latex t$ nas equações [1] e [2]. Se resolvermos a equação [1] por $latex t$, temos $latex t=x-1$. Substituindo isto pela equação [2], temos:
$latex y=(x-1)^2$
$latex y=x^2-2x+1$
Exercícios resolvidos sobre equações paramétricas
EXERCÍCIO 1
Qual é a equação cartesiana das seguintes equações paramétricas?
$latex x=\sqrt{t}$
$latex y=3t^2-4$
Solução
Uma equação cartesiana é uma equação de y expressa em termos de x. Então, temos de eliminar o parâmetro $latex t$.
Começamos por resolver a primeira equação para $latex t$. Para isto, temos:
$latex x=\sqrt{t}$
$latex x^2=t$
Substituindo esta expressão na segunda equação, temos:
$latex y=3t^2-4$
$latex y=3(x^2)^2-4$
$latex y=3x^4-4$
EXERCÍCIO 2
Encontre a equação cartesiana para as seguintes equações paramétricas:
$latex x=2t-1$
$latex y=12t^2-5$
Solução
Para obter uma equação cartesiana, temos de obter uma equação de y em termos de x.
Então, começamos por resolver a primeira equação para $latex t$:
$latex x=2t-1$
$$t=\frac{x+1}{2}$$
Agora, substituímos esta expressão na segunda equação:
$latex y=12t^2-5$
$$y=12\left(\frac{x+1}{2}\right)^2-5$$
$$y=12\left(\frac{x^2+2x+1}{4}\right)-5$$
$$y=3x^2+6x+3-5$$
$latex y=3x^2+6x-2$
EXERCÍCIO 3
Expresse y como uma equação de x usando as seguintes equações paramétricas:
$latex x=2\sqrt{t}$
$latex y=8t^2+5$
Solução
Para expressar $latex y$ como uma equação de $latex x$, temos de começar por resolver a primeira equação para $latex t$:
$latex x=2\sqrt{t}$
$$\sqrt{t}=\frac{x}{2}$$
$latex t=\frac{x^2}{4}$
Agora, usamos esta expressão na segunda equação:
$latex y=8t^2+5$
$$y=8\left(\frac{x^2}{4}\right)^2+5$$
$$y=8\left(\frac{x^4}{16}\right)+5$$
$$y=\frac{x^4}{2}+5$$
EXERCÍCIO 4
Encontre a equação cartesiana para as seguintes equações paramétricas:
$$x=\frac{1}{t}$$
$latex y=3t-2$
Solução
Resolvendo a primeira equação por $latex t$, temos:
$$x=\frac{1}{t}$$
$$t=\frac{1}{x}$$
Substituindo esta expressão na segunda equação, temos:
$latex y=3t-2$
$$y=3\left(\frac{1}{x}\right)-2$$
$$y=\frac{3}{x}-2$$
Podemos multiplicar a equação inteira por $latex x$ para obter $latex xy+2x=3$.
EXERCÍCIO 5
Encontre uma equação para y em termos de x usando as seguintes equações:
$$x=\frac{2}{\sqrt{x}}$$
$$y=\frac{3}{1+3}$$
Solução
Começamos por encontrar uma expressão para $latex t$ em termos de $latex x$:
$$x=\frac{2}{\sqrt{t}}$$
$$x^2=\frac{4}{t}$$
$$t=\frac{4}{x^2}$$
Agora, usamos esta expressão na segunda equação:
$$y=\frac{3}{1+t}$$
$$y=\frac{3}{1+\frac{4}{x^2}}$$
Para simplificar, podemos multiplicar tanto o numerador como o denominador por $latex x^2$:
$$y=\frac{3x^2}{x^2+4}$$
EXERCÍCIO 6
Encontre uma equação cartesiana usando as seguintes equações paramétricas:
$$x=\frac{1}{2-t}$$
$$y=\frac{3}{1+2t}$$
Solução
A equação $latex x$ pode ser resolvida por $latex t$ como se segue:
$$x=\frac{1}{2-t}$$
$latex x(x-t)=1$
$latex 2x-xt=1$
$latex xt=2x-1$
$$t=\frac{2x-1}{x}$$
Substituindo esta expressão na equação de $latex y$, temos:
$$y=\frac{3}{1+2t}$$
$$y=\frac{3}{1+2\left(\frac{2x-1}{x}\right)}$$
$$y=\frac{3x}{x+2(2x-1)}$$
$$y=\frac{3x}{5x-2}$$
Equações paramétricas – Exercícios para resolver
A equação cartesiana das equações $latex x=\frac{t}{1-3t}$, $latex y=\frac{t}{1+2t}$ é escrita como uma fração. Qual é o denominador?
Escreva o denominador na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
