Exercícios de decomposição em frações parciais

Esta fração corresponde ao primeiro caso de frações parciais porque temos apenas fatores lineares em seu denominador, $latex (x+4)$ e $latex (x-3)$.

Então, as fracções parciais desta fracção terão a seguinte forma:

$$\frac{5x+6}{(x+4)(x-3)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-3}$$

Para encontrar os valores de A e B, começamos multiplicando a expressão inteira por $latex (x+4)(x-3)$ e temos:

$$5x+6=A(x-3)+B(x+4)$$

Agora, podemos substituir o valor $latex x=3$ para eliminar a constante A e encontrar o valor de B:

$$5(3)+6=A(3-3)+B(3+4)$$

$latex 21=7B$

$latex B=3$

Depois, substituímos $latex x=-4$ para encontrar o valor de A:

$$5(-4)+6=A(-4-3)+B(-4+4)$$

$latex -14=-7A$

$latex A=2$

Então, temos

$$\frac{5x+6}{(x+4)(x-3)}=\frac{2}{x+4}+\frac{3}{x-3}$$

O denominador da fração tem dois fatores lineares $latex (x+4)$ e $latex (x-6)$. Depois, a sua decomposição em fracções parciais tem a forma:

$$\frac{7x+8}{(x+4)(x-6)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-6}$$

Quando multiplicamos a expressão inteira por $latex (x+4)(x-6)$, obtemos o seguinte:

$$7x+8=A(x-6)+B(x+4)$$

Agora, podemos encontrar o valor de B usando o valor $latex x=6$ para eliminar a constante A:

$$7(6)+8=A(6-6)+B(6+4)$$

$latex 50=10B$

$latex B=5$

Depois, substituímos $latex x=-4$ para encontrar o valor de A:

$$7(-4)+8=A(-4-6)+B(-4+4)$$

$latex -20=-10A$

$latex A=2$

Então, temos:

$$\frac{7x+8}{(x+4)(x-6)}=\frac{2}{x+4}+\frac{5}{x-6}$$

À primeira vista, a fração parece ter um fator quadrático no denominador. No entanto, podemos considerar esta expressão da seguinte forma:

$$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$$

Então, a expressão tem apenas factores lineares:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}=\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}$$

Como temos apenas factores lineares, as fracções parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-4}$$

Agora, vamos multiplicar a expressão inteira por $latex (x+2)(x+3)(x-4)$:

$$ 9x^2+34x+14=A(x+3)(x-4)+B(x+2)(x-4)+C(x+2)(x+3)$$

Podemos encontrar o valor de A usando $latex x=-2$:

$$ 9(-2)^2+34(-2)+14=A(-2+3)(-2-4)+B(-2+2)(-2-4)+C(-2+2)(-2+3)$$

$latex -18=-6A$

$latex A=3$

Podemos encontrar o valor de B usando $latex x=-3$:

$$ 9(-3)^2+34(-3)+14=A(-3+3)(-3-4)+B(-3+2)(-3-4)+C(-3+2)(-3+3)$$

$latex -7=7B$

$latex B=-1$

Podemos encontrar o valor de C usando $latex x=4$:

$$ 9(4)^2+34(4)+14=A(4+3)(4-4)+B(4+2)(4-4)+C(4+2)(4+3)$$

$latex 294=42C$

$latex C=7$

Então, as fracções parciais são:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{7}{x-4}$$

O factor quadrático $latex (x^2+2)$ no denominador não pode ser fatorado. Então, as fracções parciais têm a forma:

$$\frac{6x+7}{(x^2+2)(x+3)}=\frac{Ax+B}{x^2+2}+\frac{C}{x+3}$$

Multiplicando ambos os lados da expressão por $latex (x^2+2)(x+3)$, temos:

$$6x+7=(Ax+B)(x+3)+C(x^2+2)$$

Podemos encontrar o valor de C substituindo $latex x=-3$, de modo que o termo $latex (Ax+B)$ seja igual a zero:

$$6(-3)+7=(A(-3)+B)(-3+3)+C((-3)^2+2)$$

$latex -11=11C$

$latex C=-1$

Agora, podemos encontrar o valor de A ao comparar os coeficientes dos termos com $latex x^2$. Na esquerda não temos nenhum e na direita temos $latex Ax^2+Cx^2$. Então:

$latex 0=A+C$

Substituindo $latex C=-1$ por esta equação, obtemos o valor $latex A=1$.

Podemos encontrar o valor de B através da comparação dos coeficientes dos termos constantes:

$latex 7=3B+2C$

Substituindo $latex C=-1$ nesta equação, obtemos o valor $latex B=3$.

Então, as fracções parciais são:

$$\frac{6x+7}{(x^2+2)(x+3)}=\frac{x+3}{x^2+2}-\frac{1}{x+3}$$

A expressão quadrática $latex x^2+3x+5$ no denominador não pode ser fatorada. Então, as fracções parciais terão a seguinte forma:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x-6}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$$

Para encontrar os valores de A, B e C, começamos multiplicando a expressão inteira por $latex (x-6)(x^2+3x+5)$ e temos:

$$7x^2+2x-28=A(x^2+3x+5)+(Bx+C)(x-6)$$

Agora, usamos o valor $latex x=6$ para encontrar o valor de A:

$$7(6)^2+2(6)-28=A((6)^2+3(6)+5)+(B(6)+C)(6-6)$$

$latex 236=59A$

$latex A=4$

Então, encontramos o valor de B comparando os coeficientes dos termos com $latex x^2$:

$latex 7=A+B$

Quando substituímos $latex A=4$ nesta equação, obtemos o valor $latex B=3$.

Finalmente, para encontrar o valor de C, comparamos os termos constantes:

$latex -28=5A-6C$

Quando substituímos $latex A=4$ nesta equação, obtemos o valor $latex C=8$.

Então, as fracções parciais são:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{4}{x-6}+\frac{3x+8}{x^2+3x+5}$$

O denominador da fração tem um fator linear $latex (x+1)$ e um fator repetido $latex (x+2)^2$. Neste caso, as fracções parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{5x+7}{(x+1)^2(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+2}$$

Para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar a expressão inteira por $latex (x+1)^2(x+2)$:

$$5x+7=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)^2$$

Usando o valor $latex x=-1$, temos:

$$5(-1)+7=A(-1+1)(-1+2)+B(-1+2)+C(-1+1)^2$$

$latex 2=B$

$latex B=2$

Usando o valor $latex x=-2$, temos:

$$5(-2)+7=A(-2+1)(-2+2)+B(-2+2)+C(-2+1)^2$$

$latex -3=C$

$latex C=-3$

Finalmente, encontramos o valor de A ao comparar os coeficientes com o termo $latex x^2$. Não temos termos no lado esquerdo e temos: $latex Ax^2+Cx^2$ no lado direito:

$latex 0=A+C$

Usando o valor $latex C=-3$ nesta equação, encontramos o valor de $latex A=3$. Então, temos:

$$\frac{5x+7}{(x+1)^2(x+2)}=\frac{3}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^2}-\frac{3}{x+2}$$

O denominador desta fração tem um fator linear $latex (2x+1)$ e um fator repetido $latex (x-2)^2$. Então, as suas fracções parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}$$

Para encontrar os valores das constantes, multiplicamos a expressão inteira por $latex (2x+1)(x-2)^2$:

$$2x^2+29x-11=A(x-2)^2+B(2x+1)(x-2)+C(2x+1)$$

Agora, usamos o valor de $latex x=-\frac{1}{2}$ para encontrar o valor de A:

$$2(-\frac{1}{2})^2+29(-\frac{1}{2})-11=A(-\frac{1}{2}-2)^2+B(2(-\frac{1}{2})+1)(-\frac{1}{2}-2)+C(2(-\frac{1}{2})+1)$$

$$-25=\frac{25}{4}A$$

$latex A=-4$

Depois, usamos o valor $latex x=2$ para encontrar o valor de C:

$$2(2)^2+29(2)-11=A(2-2)^2+B(2(2)+1)(2-2)+C(2(2)+1)$$

$latex 55=5C$

$latex C=11$

Se compararmos os coeficientes dos termos com $latex x^2$, temos:

$latex 2=A+2B$

Substituindo $latex A=-4$ nesta equação, encontramos o valor de $latex B=3$. Então, temos:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=-\frac{4}{2x+1}+\frac{3}{x-2}+\frac{11}{(x-2)^2}$$

Podemos observar que o grau do polinômio do numerador é igual a 2 e o grau do denominador também é igual a 2.

Neste caso, temos uma fração imprópria e suas frações parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=A+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-4}$$

Agora, vamos multiplicar a expressão inteira por $latex (x+5)(x-4)$ e temos:

$$5x^2-71=A(x+5)(x-4)+B(x-4)+C(x+5)$$

Depois, vamos encontrar o valor de A comparando os coeficientes dos termos com $latex x^2$ e descobrir que $latex A=5$.

Podemos encontrar o valor de B, substituindo $latex x=-5$ na expressão:

$$5(-5)^2-71=B(-5-4)$$

$latex 54=-9B$

$latex B=-6$

Podemos encontrar o valor de C, substituindo $latex x=4$ na expressão:

$$5(4)^2-71=C(4+5)$$

$latex 9=9C$

$latex C=1$

Então, temos:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=5-\frac{6}{x+5}+\frac{1}{x-4}$$

Este exercício é semelhante ao anterior porque os polinômios do numerador e denominador têm o mesmo grau. Então, temos:

$$\frac{2x^2+x-5}{(x+2)(x+1)}=A+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+1}$$

Agora, vamos multiplicar a expressão inteira por $latex (x+2)(x+1)$ e temos:

$$2x^2+x-5=A(x+2)(x+1)+B(x+1)+C(x+2)$$

O valor de A é encontrado comparando os coeficientes dos termos com $latex x^2$ e encontramos que $latex A=2$.

Para encontrar o valor de B, substituímos $latex x=-2$ e temos:

$$2(-2)^2-2-5=A(-2+2)(-2+1)+B(-2+1)+C(-2+2)$$

$latex 1=-B$

$latex B=-1$

Para encontrar o valor de C, substituímos $latex x=-1$ e temos:

$$2(-1)^2-1-5=A(-1+2)(-1+1)+B(-1+1)+C(-1+2)$$

$latex -4=C$

$latex C=-4$

Então, temos:

$$\frac{2x^2+x-5}{(x+2)(x+1)}=2-\frac{1}{x+2}-\frac{4}{x+1}$$

O grau do polinômio no numerador é 4 e o grau do polinômio no denominador é 3. Portanto, o quociente será um polinômio de grau 4-3=1.

Então, o quociente é um polinômio linear e as suas fracções parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}=Ax+B+\frac{C}{x+4}+\frac{Dx+E}{x^2+9}$$

Quando multiplicamos a expressão inteira por $latex (x+4)(x^2+9)$, temos:

$$3x^4+7x^3+8x^2+53x-186=(Ax+B)(x+4)(x^2+9)+C(x^2+9)+(Dx+E)(x+4)$$

O valor de A é encontrado comparando os coeficientes dos termos com $latex x^4$ e encontramos que $latex A=3$.

Comparando os coeficientes do termo $latex x^3$, temos:

$latex 7=4A+B$

Substituindo $latex A=3$, descobrimos que $latex B=-5$.

Quando usamos o valor $latex x=-4$, temos:

$$3(-4)^4+7(-4)^3+8(-4)^2+53(-4)-186=C((-4)^2+9)$$

$latex 50=25C$

$latex C=2$

Comparando os coeficientes do termo $latex x^2$, temos:

$$8=9A+4B+C+D$$

Substituindo os valores $latex A=4$, $latex B=-5$ e $latex C=2$, obtemos $latex D=-1$.

Finalmente, comparando os termos constantes, temos:

$latex -186=36B+9C+4E$

Substituindo os valores $latex B=-5$ e $latex C=2$, temos $latex E=-6$.

Então, temos:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}=3x-5+\frac{2}{x+4}+\frac{-x-6}{x^2+9}$$