Quatro casos de frações parciais com exemplos

A decomposição de uma fração em frações parciais pode ser considerada o processo inverso de adição ou subtração de duas, ou mais frações. Existem quatro casos principais de frações parciais: denominador com fatores lineares, denominador com fator quadrático irredutível, denominador com fator repetido e frações impróprias.

A seguir, vamos conhecer estes quatro casos de fracções parciais em detalhe. Além disso, vamos olhar para alguns exemplos para aplicar os conceitos.

ÁLGEBRA
Exemplo de frações parciais

Relevante para

Aprender mais sobre os quatro casos de fracções parciais.

Ver casos

ÁLGEBRA
Exemplo de frações parciais

Relevante para

Aprender mais sobre os quatro casos de fracções parciais.

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Caso 1: Denominador com fatores lineares

Cada fator linear $latex (ax+b)$ no denominador tem uma fração parcial correspondente da forma

$$\frac{A}{ax+b}$$

onde $latex a,~b$ e $latex A$ são constantes.

Por exemplo, se tivermos a seguinte fração

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}$$

as suas fracções parciais terão a seguinte forma:

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$$

Os valores das constantes A e B podem ser encontrados multiplicando a expressão inteira pelo denominador da fração original.

Então, podemos usar dois métodos diferentes, como mostrado nos exemplos a seguir.

EXEMPLO 1

Decompor a fracção seguinte em fracções parciais:

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}$$

Solução

EXEMPLO 2

Expresse a seguinte fração em frações parciais

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}$$

Solução

Caso 2: Denominador com um factor quadrático irredutível

Cada fator quadrático da forma $latex (ax^2+bx+c)$ no denominador tem uma fração parcial correspondente da seguinte forma se for irredutível, ou seja, se não puder ser fatorado:

$$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$$

onde $latex a,~b,~c,~A$ e $latex B$ são constantes.

Por exemplo, suponha que temos a seguinte fração

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}$$

As suas fracções parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x-6}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$$

Então, podemos encontrar os valores de A, B e C usando os mesmos métodos vistos no caso I, como mostrado no exemplo a seguir.

EXEMPLO

Expresse a seguinte fração em frações parciais:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}$$

Solución

Caso 3: Denominador com um factor repetido

Cada fator linear repetido da forma $latex (ax+b)^2$ no denominador tem frações parciais da seguinte forma:

$$\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{ax+b}^2$$

onde $latex A,~b,~A$ e $latex B $ são constantes.

Por exemplo, suponha que temos a seguinte fração

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}$$

Podemos decompor em frações parciais usando a seguinte forma:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}$$

Encontramos os valores das constantes A, B e C aplicando as mesmas técnicas que nos casos anteriores.

EXEMPLO

Expresse a seguinte fração em frações parciais:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}$$

Solução

Caso 4: Fracções impróprias

Uma fração algébrica imprópria é uma fração na qual o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador.

Para simplificar uma fração algébrica imprópria, podemos dividir o numerador pelo denominador. Quando fizermos isso, podemos obter o seguinte:

  • Se um polinômio de grau $latex n$ é dividido por um polinômio de grau $latex n$, o quociente é uma constante.
  • Se um polinômio de grau $latex n$ for dividido por um polinômio de grau $latex m$, onde $latex m<n$, o quociente é um polinômio de grau $latex (n-m)$.

Por exemplo, na fração seguinte o grau do numerador é 2 e o grau do denominador também é 2:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}$$

Então, o quociente é uma constante (a constante A) e as suas fracções parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=A+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-4}$$

Na fração seguinte, o grau do numerador é 4 e o grau do denominador é 3:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}$$

Então, o quociente é um polinómio de grau (4-3)=1 e as suas fracções parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}=Ax+B+\frac{C}{x+4}+\frac{Dx+E}{x^2+9}$$

EXEMPLO

Expresse a seguinte fração em frações parciais

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}$$

Solução

Veja também

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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