Quatro casos de frações parciais com exemplos

Como temos dois fatores lineares $latex (x+3)$ e $latex (x-2)$, sua decomposição em frações parciais é:

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$$

Agora, multiplicamos a expressão inteira por $latex (x+3)(x-2)$ para obter:

$$3x-1=A(x-2)+B(x+3)$$

Podemos usar dois métodos diferentes para encontrar os valores das constantes. Usando o primeiro método, substituímos $latex x=2$ para eliminar a constante A e encontrar o valor de B:

$$3(2)-1=A(2-2)+B(2+3)$$

$latex 5=5B$

$latex B=1$

Depois, substituímos $latex x=-3$ para encontrar o valor de A:

$$3(-3)-1=A(-3-2)+B(-3+3)$$

$latex -10=-5A$

$latex A=2$

O segundo método consiste em expandir o lado direito da equação para obter:

$$3x-1=A(x-2)+B(x+3)$$

$$3x-1=Ax-2A+Bx+3B$$

Comparando os coeficientes dos termos com a variável x, temos:

$latex 3=A+B$

Comparando os termos constantes, temos:

$latex -1=-2A+3B$

Formando um sistema de equações e resolvendo simultaneamente, temos $latex A=2$ e $latex B=1$, semelhante ao método anterior.

Então,

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{2}{x+3}+\frac{1}{x-2}$$

Neste caso, podemos começar por factorar o denominador para obter apenas factores lineares:

$$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$$

Então, temos:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}=\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}$$

Agora, como só temos factores lineares no denominador, podemos escrever como se segue:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-4}$$

Se multiplicarmos a expressão inteira por $latex (x+2)(x+3)(x-4)$, temos:

$$ 9x^2+34x+14=A(x+3)(x-4)+B(x+2)(x-4)+C(x+2)(x+3)$$

Quando usamos $latex x=-2$, temos:

$$ 9(-2)^2+34(-2)+14=A(-2+3)(-2-4)+B(-2+2)(-2-4)+C(-2+2)(-2+3)$$

$latex -18=-6A$

$latex A=3$

Quando usamos $latex x=-3$, temos:

$$ 9(-3)^2+34(-3)+14=A(-3+3)(-3-4)+B(-3+2)(-3-4)+C(-3+2)(-3+3)$$

$latex -7=7B$

$latex B=-1$

Quando usamos $latex x=4$, nós temos:

$$ 9(4)^2+34(4)+14=A(4+3)(4-4)+B(4+2)(4-4)+C(4+2)(4+3)$$

$latex 294=42C$

$latex C=7$

Então, temos:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{7}{x-4}$$

Como a expressão quadrática $latex x^2+3x+5$ no denominador não pode ser considerada, podemos assumir que as frações parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x-6}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$$

Agora, multiplique a expressão inteira por $latex (x-6)(x^2+3x+5)$ e temos:

$$7x^2+2x-28=A(x^2+3x+5)+(Bx+C)(x-6)$$

Quando substituímos $latex x=6$, podemos encontrar o valor de A:

$$7(6)^2+2(6)-28=A((6)^2+3(6)+5)+(B(6)+C)(6-6)$$

$latex 236=59A$

$latex A=4$

Quando comparamos os coeficientes dos termos com $latex x^2$, temos:

$latex 7=A+B$

Substituindo $latex A=4$ nesta equação, obtemos o valor $latex B=3$.

Se agora compararmos os termos constantes, temos:

$latex -28=5A-6C$

Substituindo $latex A=4$ por esta equação, obtemos o valor $latex C=8$.

Então, as fracções parciais são:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{4}{x-6}+\frac{3x+8}{x^2+3x+5}$$

Esta fração tem um fator linear $latex (2x+1)$ e um fator repetido $latex (x-2)^2$. Então, as suas fracções parciais têm a forma:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}$$

Agora, multiplique toda a expressão pelo denominador da fração original $latex (2x+1)(x-2)^2$ e temos:

$$2x^2+29x-11=A(x-2)^2+B(2x+1)(x-2)+C(2x+1)$$

Quando usamos o valor $latex x=-\frac{1}{2}$, temos:

$$2(-\frac{1}{2})^2+29(-\frac{1}{2})-11=A(-\frac{1}{2}-2)^2+B(2(-\frac{1}{2})+1)(-\frac{1}{2}-2)+C(2(-\frac{1}{2})+1)$$

$$-25=\frac{25}{4}A$$

$latex A=-4$

Quando usamos o valor $latex x=2$, temos:

$$2(2)^2+29(2)-11=A(2-2)^2+B(2(2)+1)(2-2)+C(2(2)+1)$$

$latex 55=5C$

$latex C=11$

Se compararmos os coeficientes dos termos com $latex x^2$, temos:

$latex 2=A+2B$

Usando o valor $latex A=-4$ nesta equação, encontramos o valor de $latex B=3$. Então, temos:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=-\frac{4}{2x+1}+\frac{3}{x-2}+\frac{11}{(x-2)^2}$$

O grau do polinômio no numerador é 2 e o grau do polinômio no denominador é também 2.

Então, o quociente é uma constante e as suas fracções parciais têm a seguinte forma:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=A+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-4}$$

Multiplique a expressão inteira por $latex (x+5)(x-4)$ e temos:

$$5x^2-71=A(x+5)(x-4)+B(x-4)+C(x+5)$$

Podemos encontrar o valor de A facilmente comparando os coeficientes dos termos com $latex x^2$ e descobrir que $latex A=5$.

Quando usamos o valor $latex x=-5$, temos:

$$5(-5)^2-71=B(-5-4)$$

$latex 54=-9B$

$latex B=-6$

Quando usamos o valor $latex x=4$, temos:

$$5(4)^2-71=C(4+5)$$

$latex 9=9C$

$latex C=1$

Então, temos:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=5-\frac{6}{x+5}+\frac{1}{x-4}$$