O processo de adição e subtração de frações algébricas depende se as frações são homogêneas (com o mesmo denominador) ou heterogêneas (com denominadores diferentes). Se as frações forem heterogêneas, devemos começar calculando o menor denominador comum.
A seguir, conheceremos os passos que podemos seguir para adicionar e subtrair tanto frações homogêneas quanto frações heterogêneas. Em seguida, veremos alguns exemplos práticos.
Passos para adicionar e subtrair frações algébricas homogêneas
Frações homogêneas são frações que possuem os mesmos denominadores. Por exemplo, as frações $latex \frac{1}{x+1}$ e $latex \frac{3}{x+1}$ são como frações.
Para adicionar e subtrair esses tipos de frações, basta “combinar” as frações usando um único denominador e realizando as operações do numerador.
Assim, podemos seguir os passos abaixo para adicionar e subtrair como frações algébricas:
1. Escreva as frações usando um único denominador.
Como o denominador é o mesmo, podemos “combinar” as frações em uma.
2. Efetue as operações do numerador.
Simplifique e combine termos semelhantes.
3. Simplifique o resultado final.
Passos para adicionar e subtrair frações algébricas heterogêneas
Frações heterogêneas são frações que possuem denominadores diferentes. Por exemplo, as frações $latex \frac{1}{x+2}$ e $latex \frac{3}{x-3}$ são frações heterogêneas.
Para adicionar e subtrair esses tipos de frações, devemos começar encontrando o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Então, reescrevemos as frações para obter frações homogêneas.
Assim, podemos somar e subtrair frações algébricas heterogêneas aplicando os seguintes passos:
1. Encontre o menor denominador comum (mdc).
2. Use o mínimo denominador comum para escrever frações homogêneas.
O novo denominador de cada fração é o mdc. O novo numerador de cada fração é igual ao mdc dividido pelo denominador e multiplicado pelo numerador da fração original.
3. Escreva as frações usando um único denominador.
Como os denominadores das frações do passo 2 são os mesmos, os combinamos para obter uma única fração.
4. Efetue as operações do numerador.
Simplifique e combine termos semelhantes.
5. Simplifique a fração final.
Exemplos resolvidos de adição e subtração de frações algébricas
EXEMPLO 1
Qual é o resultado da adição das frações? $$\frac{3x+2}{5}+\frac{x}{5}$$
Solução
Temos uma soma de frações homogêneas. Assim, podemos escrevê-las usando um único denominador da seguinte forma:
$$\frac{3x+2}{5}+\frac{x}{5}=\frac{3x+2+x}{5}$$
Agora, combinamos termos semelhantes no numerador:
$$\frac{3x+2+x}{5}=\frac{4x+2}{5}$$
A fração não pode mais ser simplificada, então $latex \frac{4x+2}{5}$ é o nosso resultado.
EXEMPLO 2
Encontre o resultado da subtração de frações: $$\frac{4x+1}{x+2}-\frac{3-2x}{x+2}$$
Solução
Neste caso, temos uma subtração de frações homogêneas, então podemos combiná-las para formar uma única fração:
$$\frac{4x+1}{x+2}-\frac{3-2x}{x+2}=\frac{4x+1-(3-2x)}{x+2}$$
$$=\frac{4x+1-3+2x}{x+2}$$
Combinando termos semelhantes no numerador, temos:
$$\frac{4x+1-3+2x}{x+2}=\frac{6x-2}{x+2}$$
Podemos simplificar o numerador: $latex \frac{2(3x-1)}{x+2}$ e este é o nosso resultado.
EXEMPLO 3
Faça a seguinte soma de frações: $$\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+3}$$
Solução
Neste caso, temos uma soma de frações heterogêneas. Então, temos que começar encontrando o menor denominador comum.
O menor denominador comum é $latex (x-1)(x+3)$, pois pode ser dividido por ambos os denominadores sem deixar resto.
Então, formamos frações homogêneas dividindo o mdc por cada denominador e multiplicando pelo numerador. Então temos:
$$\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+3}=\frac{3(x+3)}{(x-1)(x+3)}+\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+3)}$$
Combinando as frações homogêneas e realizando as operações do numerador, temos:
$$=\frac{3(x+3)+2(x-1)}{(x-1)(x+3)}$$
$$=\frac{3x+9+2x-2}{(x-1)(x+3)}$$
$$=\frac{5x+7}{(x-1)(x+3)}$$
Não podemos mais simplificar a fração. Assim, $latex \frac{5x+7}{(x-1)(x+3)}$ é o nosso resultado.
EXEMPLO 4
Faça a seguinte subtração de frações: $$\frac{4}{x+6}-\frac{2}{x+7}$$
Solução
Como temos uma subtração de frações heterogêneas, começamos encontrando o menor denominador comum.
Nesse caso, o menor denominador comum é $latex (x+6)(x+7)$. Então, formamos como frações usando esse denominador:
$$\frac{4}{x+6}-\frac{2}{x+7}=\frac{4(x+7)}{(x+6)(x+7)}-\frac{2(x+6)}{(x+6)(x+7)}$$
Agora, podemos formar uma única fração e simplificar o numerador:
$$=\frac{4(x+7)-2(x+6)}{(x+6)(x+7)}$$
$$=\frac{4x+28-2x-12}{(x+6)(x+7)}$$
$$=\frac{2x+16}{(x+6)(x+7)}$$
$$=\frac{2(x+8)}{(x+6)(x+7)}$$
EXEMPLO 5
Encontre o resultado da seguinte soma de frações: $$\frac{2x}{x^2+3x+2}+\frac{3}{x+1}$$
Solução
Para encontrar o menor denominador comum, podemos começar reconhecendo que:
$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$
Isso significa que $latex (x+1)$ é um fator de $latex x^2+3x+2$ e $latex (x+1)(x+2)$ é o menor denominador comum. Então temos:
$$\frac{2x}{x^2+3x+2}+\frac{3}{x+1}=\frac{2x}{(x+1)(x+2)}+\frac{3(x+2)}{(x+1)(x+2)}$$
Combinando as frações homogêneas e realizando as operações do numerador, temos:
$$=\frac{2x+3(x+2)}{(x+1)(x+2)}$$
$$=\frac{2x+3x+6}{(x+1)(x+2)}$$
$$=\frac{5x+6}{(x+1)(x+2)}$$
EXEMPLO 6
Encontre o resultado da seguinte adição e subtração de frações: $$x+7+\frac{1}{x-4}-\frac{5}{x+1}$$
Solução
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
$$\frac{x+7}{1}+\frac{1}{x-4}-\frac{5}{x+1}$$
Assim, o menor denominador comum é $latex (x-4)(x+1)$ e temos o seguinte:
Então, formamos frações homogêneas dividindo o mdc por cada denominador e multiplicando pelo numerador. Então temos:
$$\frac{x+7}{1}+\frac{1}{x-4}-\frac{5}{x+1}$$
$$=\frac{(x+7)(x-4)(x+1)+(x+1)-5(x-4)}{(x-4)(x+1)}$$
$$=\frac{x^3+4x^2-25x-28+x+1-5x+20}{(x-4)(x+1)}$$
$$=\frac{x^3+4x^2-29x-7}{(x-4)(x+1)}$$
Você pode explorar exercícios adicionais sobre este tópico nestes artigos: Exercícios de adição de frações algébricas, Exercícios de subtração de frações algébricas.
Adição e subtração de frações algébricas – Exercícios para resolver
Qual é o numerador da fração obtida realizando a seguinte operação? $$\frac{5x}{2x^2+3x-5}-\frac{1}{x-1}-\frac{2}{2x+5}$$
Escreva o numerador na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
