Adição de frações algébricas – Exercícios resolvidos

Quando as frações algébricas a serem adicionadas têm o mesmo denominador, seja ele um número ou uma expressão algébrica, encontrar sua soma é muito fácil, pois basta escrever o mesmo denominador e adicionar os numeradores.

Neste caso, o denominador de ambas as expressões algébricas é 3, por isso temos:

$$\frac {x-1}{3}+\frac{1-8x}{3}=\frac{(x-1)+(1-8x)}{3}$$

A seguir, os termos semelhantes são reduzidos no numerador:

$$\frac {x-1}{3}+\frac{1-8x}{3}=\frac{(x-1)+(1-8x)}{3}$$

$$=\frac{(x-8x)+(-1+1)}{3}$$

$$=-\frac{7x}{3}$$

Portanto:

$$\frac {x-1}{3}+\frac{1-8x}{3}=-\frac{7x}{3}$$

Os denominadores de ambas as frações são os mesmos, portanto:

$$\frac {4x^2-3}{x}+\frac{2x^2-1}{x} =\frac {(4x^2-3)+(2x^2-1)}{x}$$

Combinando termos semelhantes, temos:

$$\frac {(4x^2-3)+(2x^2-1)}{x}=\frac {(4x^2+2x^2)+(-3-1)}{x}$$

$$=\frac {6x^2-4}{x}$$

O resultado é:

$$\frac {4x^2-3}{x}+\frac{2x^2-1}{x}=\frac {6x^2-4}{x}$$

No caso de adendos com o mesmo denominador, proceder como nos exemplos anteriores:

$$\frac {y}{y-6}+\frac{6+4y-y^2}{y-6}=\frac {y+6+4y-y^2}{y-6}$$

A seguir, os termos semelhantes no numerador são adicionados:

$$\frac {y+6+4y-y^2}{y-6}=\frac {6+5y-y^2}{y-6}$$

$$=\frac {-y^2+5y+6}{y-6}$$

Agora, se o fator comum $latex (-1)$ for removido do numerador, um trinômio fatorizável permanece:

$$=\frac {-y^2+5y+6}{y-6}= \frac {(-1)\cdot (y^2-5y-6)}{y-6} $$

e temos:

$$y^2-5y-6 = (y-6)\cdot(y+1) $$

Substituindo na soma e simplificando:

$$\frac {(-1)\cdot(y^2-5y-6)}{y-6} =\frac { (-1)\cdot(y-6)(y+1)}{y-6}$$

$$=-y-1$$

Então:

$$\frac {y}{y-6}+\frac{6+4y-y^2}{y-6}=-y-1$$

Este é um exemplo de adição de frações algébricas com diferentes denominadores, portanto, primeiro é determinado o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores.

Uma vez que 2 e 7 são números primos, o mínimo múltiplo comum de ambos é o produto dos valores:

$latex mmc(2,7) = 2\times 7 = 14$

Portanto, o denominador da soma procurada será 14. Para encontrar o numerador da soma, divida este valor pelo denominador da primeira fração e multiplique o resultado pelo numerador correspondente.

Este procedimento é repetido para a fração seguinte, e os resultados são somados, como se segue:

$$\frac {x+3}{2}+\frac{5x+1}{7}=\frac{7(x+3)+2(5x+1)}{14}$$

Em seguida, a propriedade distributiva é aplicada ao numerador, e os termos semelhantes são adicionados:

$$\frac {x+3}{2}+\frac{5x+1}{7}=\frac{7(x+3)+2(5x+1)}{14}$$

$$=\frac{7x+21+10x+2)}{14}$$

$$=\frac{17x+23}{14}$$

O resultado desejado é:

$$\frac {x+3}{2}+\frac{5x+1}{7}=\frac{17x+23}{14}$$

Esta é uma soma de frações algébricas com denominadores diferentes, portanto é necessário encontrar o MMC de três expressões algébricas.

Não é difícil perceber que esta expressão algébrica é $latex 6x^3$, portanto:

$latex mmc[2x; x^2; 6x^3]=6x^3$

Dividindo o MMC obtido por cada um dos denominadores das adições, vemos que a divisão é exata:

• $latex 6x^3\div 2x = 3x^2$
• $latex 6x^3\div x^2 = 6x$
• $latex 6x^3\div 6x^3 = 1$

O denominador da soma será o MMC, enquanto o numerador é a soma dos produtos entre os respectivos numeradores e cada um dos resultados obtidos:

$$\frac{3}{2x}+\frac{4}{x^2}+\frac{5}{6x^3}=\frac{3\cdot 3x^2+4\cdot 6x +5\cdot 1}{6x^3}$$

$$=\frac{9x^2+24x +5}{6x^3}$$

O numerador é irredutível, portanto, conclui-se que:

$$\frac{3}{2x}+\frac{4}{x^2}+\frac{5}{6x^3}=\frac{9x^2+24x +5}{6x^3}$$

Note que $latex y^2-9$ é uma diferença de quadrados perfeitos, e como tal pode ser factorado da seguinte forma:

$latex y^2-9 = (y+3)(y-3)$

A soma pode ser escrita desta forma, o que é equivalente:

$$\frac {2y}{y-3}+\frac{3y}{y+3}+\frac{10y}{y^2-9}=\frac {2y}{y-3}+\frac{3y}{y+3}+\frac{10y}{(y+3)(y-3)}$$

Os três denominadores diferem; por isso, é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum:

$$mmc[(y-3);(y+3);(y+3)(y-3)]=(y+3)(y-3)$$

O denominador da fração resultante é o MMC dos denominadores das três frações.

Para o numerador, dividir o MMC por cada um dos denominadores e multiplicar pelo respectivo numerador, depois somar tudo, como no exercício anterior:

$$\frac {2y}{y-3}+\frac{3y}{y+3}+\frac{10y}{y^2-9}=\frac {(y+3)2y+(y-3)3y+10y}{(y+3)(y-3)}$$

O próximo passo é aplicar a propriedade distributiva no numerador:

$$\frac {(y+3)2y+(y-3)3y+10y}{(y+3)(y-3)}=\frac {2y^2+6y+3y^2-9y+10y}{(y+3)(y-3)}$$

$$=\frac {5y^2+7y}{(y+3)(y-3)}$$

A expressão obtida é irredutível, pois não há fatores comuns entre o numerador e o denominador, no entanto, o numerador pode ser fatorizado para se obter finalmente:

$$\frac {2y}{y-3}+\frac{3y}{y+3}+\frac{10y}{y^2-9}=\frac {y(5y+7)}{(y+3)(y-3)}$$

Uma vez que os denominadores são distintos e não têm factores comuns, o mmc é simplesmente o produto deles:

$latex mmc[x; (x-3)]=x(x-3)$

Portanto, a soma procurada é:

$$\frac{10}{x}+\frac{2x}{x-3}=\frac{10(x-3)+2x\cdot x}{x(x-3)}$$

$$=\frac{2x^2+10x-30}{x(x-3)}$$

O numerador pode ser factorado:

$$\frac{2x^2+10x-30}{x(x-3)}=\frac{2(x^2+5x-15)}{x(x-3)}$$

Então:

$$\frac{10}{x}+\frac{2x}{x-3}=\frac{2(x^2+5x-15)}{x(x-3)}$$

À primeira vista, parece que os denominadores das duas frações diferem, porém, multiplicando o numerador e o denominador da segunda fração por $latex (-1)$, os denominadores se tornam iguais e temos:

$$\frac{9}{z-2}+\frac{3z}{2-z}=\frac{9}{z-2}+\frac{(-1)\cdot(3z)}{(-1)\cdot(2-z)}$$

$$=\frac{9}{z-2}+\frac{(-3z)}{(z-2)}$$

$$=\frac{9-3z}{z-2}$$

$$=\frac{3(3-z)}{z-2}$$

A operação pode ser escrita como:

$$\frac{9}{z-2}+\frac{3z}{2-z}=\frac{3(3-z)}{z-2}$$

A primeira soma não é uma fração, mas pode ser escrita como tal, colocando um $latex 1$ no denominador:

$$5y^2+\frac{9y}{y-6}=\frac {5y^2}{1}+\frac{9y}{y-6}$$

O $latex mmc$ dos denominadores é então calculado:

$latex mmc(1; y-6)= y-6$

Portanto:

$$5y^2+\frac{9y}{y-6}=\frac {5y^2}{1}+\frac{9y}{y-6}$$

$$=\frac {5y^2(y-6)+9y}{y-6}$$

$$=\frac {5y^3-30y^2+9y}{y-6}$$

$$=\frac {y(5y^2-30y+9)}{y-6}$$

Em primeiro lugar, os denominadores são fatorados:

$$x^2+2x-8 =(x+4)\cdot(x-2)$$

$$x^2-3x+2 =(x-2)\cdot(x-1)$$

E a expressão é reescrita:

$$\frac{x}{x^2+2x-8}+\frac{x+1}{x^2-3x+2}=\frac{x}{(x+4)(x-2)}+\frac{x+1}{(x-2)(x-1)}$$

Assim, o mínimo múltiplo comum dos denominadores é:

$$mmc[(x+4)(x-2);(x-2)(x-1)] =(x-2)(x+4)(x-1)$$

Portanto:

$$\frac{x}{(x+4)(x-2)}+\frac{x+1}{(x-2)(x-1)}=\frac{x(x-1)+(x+1)(x+4)}{(x-2)(x+4)(x-1)}$$

Os produtos no numerador estão agora desenvolvidos:

$latex x(x-1)=x^2-x$

$latex (x+1)(x+4)=x^2+5x+4$

E combinamos termos semelhantes:

$$(x^2-x)+(x^2+5x+4) = 2x^2+4x+4= 2(x^2+2x+2)$$

Substitua este resultado no numerador:

$$\frac{x}{(x+4)(x-2)}+\frac{x+1}{(x-2)(x-1)}=\frac{x(x-1)+(x+1)(x+4)}{(x-2)(x+4)(x-1)}$$

$$=\frac{2(x^2+2x+2)}{(x-2)(x+4)(x-1)}$$

Portanto:

$$ \frac{x}{x^2+2x-8}+\frac{x+1}{x^2-3x+2}=\frac{2(x^2+2x+2)}{(x-2)(x+4)(x-1)}$$