Subtração de frações algébricas – Exercícios resolvidos

Notamos que neste caso ambas as fracções têm o mesmo denominador $latex b$. Ou seja, temos duas fracções com denominador comum $latex b$.

Como são frações com um denominador comum, a fração resultante será a subtração dos numeradores dividida pelo denominador comum, que neste exercício é $latex b$.

$$\frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a – c}{b}$$

O resultado é:

$$ \frac{a – c}{b}$$

Definimos a operação a ser realizada:

$$ \frac{3x}{5} – \frac{2x}{5}$$

Observamos novamente que esta é a subtração de duas fracções com denominador comum 5.

A fração resultante é obtida tomando a subtração dos numeradores e dividindo pelo denominador comum:

$$ \frac{3x}{5} – \frac{2x}{5} = \frac{3x – 2x}{5}$$

$$ = \frac{x}{5}$$

O resultado é:

$$\frac{x}{5}$$

Ao contrário dos exercícios anteriores, as duas frações dadas têm denominadores diferentes.

O mínimo denominador comum (mdc) é $latex yz $.

Multiplicando o numerador e denominador da primeira fração por z, obtemos a fração equivalente à fração original:

$$ \frac{2xz}{yz}$$

Da mesma forma, multiplicando o numerador e denominador do segundo por y, obtemos a fração equivalente:

$$ \frac{xy}{zy}$$

Subtraímos as fracções equivalentes:

$$ \frac{2xz}{yz} – \frac{xy}{zy}$$

Como $latex yz = zy$, a expressão acima é equivalente a:

$$ \frac{2xz}{yz} – \frac{xy}{yz}$$

Temos agora a subtracção de duas fracções com denominador comum yz. A fração resultante é a subtração dos numeradores, dividida pelo denominador comum.

$$ \frac{2xz}{yz} – \frac{xy}{yz}= \frac{2xz – xy}{yz}$$

O resultado é:

$$\frac{2xz – xy}{yz}$$

Esta é a diferença de duas fracções de denominadores diferentes. O seu mínimo denominador comum é 3×2=6.

Segue-se o seguinte procedimento para obter a subtracção de duas fracções equivalentes às originais, mas com o denominador igual para ambas:

• Multiplicamos o numerador e denominador da primeira fração por 2 para obter $latex \frac{4x}{6}$.
• Multiplicamos o numerador e denominador da segunda fração por 3 para obter $latex \frac{3x}{6}$.

Agora, temos o seguinte:

$$\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}= \frac{4x}{6}-\frac{3x}{6}$$

$$ = \frac{4x-3x}{6}$$

$$ = \frac{x}{6}$$

O resultado é: $latex \frac{x}{6}$.

Os denominadores são: 6 e 4, ou seja, 2×3 e 2×2. Isto significa que o seu mínimo denominador comum é 12.

$$ \frac{a-2}{6} – \frac{3a+2}{4} = \frac{2(a-2)}{12}-\frac{3(3a+2)}{12}$$

$$= \frac{2a-4}{12} – \frac{9a+6}{12}$$

$$= \frac{(2a-4)-(9a+6)}{12} $$

$$= \frac{2a-4-9a-6}{12}$$

$$=\frac{-7a-10}{12}$$

$$= – \frac{7a+10}{12}$$

O resultado é: $latex – \frac{7a+10}{12}$.

Estas são fracções de denominadores não comuns. Será aplicado o seguinte procedimento, que chamaremos de multiplicação cruzada.

Para encontrar o numerador resultante, multiplique o numerador do primeiro pelo denominador do segundo menos, o denominador do primeiro pelo numerador do segundo.

O denominador resultante é o produto dos denominadores.

$$ \frac{2}{x-4} – \frac{1}{x-3} = \frac{2(x-3) – 1(x-4)}{(x-4)(x-3)}$$

$$ = \frac{2x-6-x+4}{(x-4)(x-3)} $$

O resultado é:

$$ \frac{x-2}{(x-4)(x-3)} $$

O resultado é:

$$ \frac{(m-n)^2 – (m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$$

Se os fatores forem expandidos, um resultado equivalente é obtido:

$$ =\frac{m^2-2mn+n^2-m^2-2mn-n^2}{m^2-mn+nm-n^2}$$

$$= \frac{-4mn}{m^2-n^2}$$

Se você multiplicar o numerador e denominador da primeira fração pelo valor 2, você tem uma subtração de frações com um denominador comum:

$$\frac{2x-2}{8x+8} – \frac{x+2}{8x-8}$$

A fração resultante terá a diferença de numeradores como numerador e o denominador comum como denominador:

$$=\frac{(2x-2) – (x+2)}{8x+8}$$

Expandindo o numerador, temos:

$$=\frac{(2x-2-x-2)}{8x+8}$$

$$=\frac{(x-4)}{8x+8}$$

O resultado é:

$$\frac{(x-4)}{8(x+1)}$$

Para encontrar a solução vamos aplicar o método de multiplicação em X explicado no exercício 6.

$$\frac{a(a-1)^2 – (a^2-1)(a+1)}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

O resultado acima pode ser considerado a resposta; entretanto, se os fatores numeradores forem desenvolvidos e simplificados, um resultado alternativo pode ser obtido:

$$=\frac{a(a^2-2a+1) – (a^3+a^2-a-1)}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

$$=\frac{a^3-2a^2+a – (a^3+a^2-a-1)}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

$$=\frac{a^3-2a^2+a – a^3-a^2+a+1}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

o que simplifica para o seguinte resultado

$$=\frac{-3a^2+2a+1}{(a^2-1)(a-1)^2}$$

Vamos aplicar o método de multiplicação em cruz (X) explicado no exercício 6.

$$ \frac{3}{x-1} – \frac{2}{x+1} = \frac{3(x+1) – 2(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

Agora desenvolvemos o numerador e simplificamos o mais possível:

$$ =\frac{3x+3-2x+2}{(x-1)(x+1)}$$

O resultado final é:

$$ =\frac{(x+5)}{(x-1)(x+1)}$$