Multiplicação de frações algébricas – Exercícios resolvidos

A fração resultante do produto (ou multiplicação) de duas frações algébricas é o produto dos numeradores divididos pela multiplicação dos seus denominadores:

$$ \frac{2a}{3b^3} \cdot \frac{3b^2}{4a} = \frac{(2a)\cdot (3b^2)}{(3b^3) \cdot (4a)}$$

Simplificando os factores semelhantes no numerador e denominador, temos:

$$ =\frac{(1) \cdot (1)}{(b) \cdot (2)} $$

O resultado final é:

$$ \frac{1}{2b} $$

Fatoramos o numerador e denominador de cada uma das fracções apresentadas:

$$ \frac{7(x+1)}{10(x+5)} \cdot \frac{5(x+5)}{2 \cdot 7} $$

Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador:

$$ \frac{7(x+1) \cdot 5(x+5)}{10(x+5) \cdot 2 \cdot 7} $$

Simplificamos ou cancelamos fatores semelhantes entre o numerador e o denominador:

$$ \frac{(x+1)}{2 \cdot 2 } $$

O resultado final é:

$$ \frac{(x+1)}{4} $$

Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente:

$$ \frac{10 \cdot 2a \cdot 3b}{a \cdot b^2 \cdot 20} $$

Simplificamos:

$$ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot b \cdot 2} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{1 \cdot b \cdot 1} $$

O resultado final é:

$$ \frac{3}{b} $$

Os numeradores e denominadores são multiplicados em conjunto:

$$ \frac{(x^3 + 2x^2 + x)(a – b)}{(a^2 – b^2)(x^2 + x)} $$

O numerador e o denominador são fatorados:

$$ =\frac{x(x^2 + 2x + 1)(a – b)}{(a^2 – b^2)(x + 1)x} $$

Podemos fatorar a expressão $latex x^2+2x+1$ reconhecendo que isto é igual a $latex (x+1)^2$:

$$ =\frac{x(x+1)^2(a – b)}{(a^2 – b^2)(x + 1)x} $$

Tendo em conta que uma diferença de quadrados é o produto da soma e a diferença, temos:

$$ =\frac{x(x+1)^2(a – b)}{(a + b)(a – b)(x + 1)x} $$

Agora simplificamos ou cancelamos fatores comuns entre numerador e denominador:

$$ =\frac{1(x+1)(1)}{(a + b)(1)(1)1} $$

Finalmente ficamos com:

$$ \frac{(x+1)}{(a + b)} $$

Multiplicamos numeradores um pelo outro e denominadores um pelo outro:

$$ \frac{(a^2-4a – 5)(2a-2)}{(2a^2-50)(3a+3)} $$

Substituímos o primeiro factor do numerador, o qual é um polinômio quadrático, pelo produto de dois binômios:

$$ (a^2-4a – 5) = (a-5)(a+1) $$

e consideramos o factor comum sempre que possível:

$$ \frac{(a-5)(a+1)2(a-1)}{(2(a^2-25))3(a+1)} $$

Aplicamos a fórmula para a diferença de quadrados em $latex (a^2-25)$:

$$ \frac{(a-5)(a+1)2(a-1)}{(2(a – 5)(a+5))3(a+1)} $$

Simplificamos

$$ \frac{(a-1)}{(a+5)3} $$

O resultado final é:

$$ \frac{(a-1)}{3(a+5)} $$

A expressão dada é equivalente a:

$$ ( \frac{1}{1} + \frac{a}{b})( \frac{a}{1} – \frac{a^2}{a+b}) $$

Primeiro adicione e subtraia as frações em cada uma das expressões entre parênteses:

$$ (\frac{b+a}{b})( \frac{a^2 + ab -a^2}{a+b}) $$

Simplificando, temos:

$$ (\frac{b+a}{b})( \frac{ ab }{a+b}) $$

Agora multiplicamos as fracções da forma habitual, numerador por numerador e denominador por denominador:

$$ \frac{(b+a)ab}{b(a+b)} $$

Depois de simplificar, ou seja, cancelar fatores iguais no numerador e denominador, ficamos com a resposta final:

$$ a $$

Tendo em conta que $latex x = \frac{x}{1} $, a subtracção das fracções é efectuada no primeiro parêntese e a adição no segundo:

$$ (\frac{x(y+1) -x}{y+1})( \frac{xy + x}{y}) $$

Desenvolvemos o primeiro numerador e tomamos um factor comum x no segundo numerador:

$$ (\frac{xy+x -x}{y+1})( \frac{x(y + 1)}{y}) $$

Simplificamos:

$$ (\frac{xy}{y+1})( \frac{x(y + 1)}{y}) $$

Multiplicamos as fracções entre parênteses:

$$ \frac{x^2y(y+1)}{(y+1)y} $$

Fatores iguais entre numerador e denominador são cancelados, deixando o resultado:

$$ x^2 $$

Multiplicamos numeradores e denominadores separadamente:

$$ \frac{30xb}{10xb^2} $$

Depois de simplificar, a resposta é:

$$ \frac{3}{b} $$

Temos o produto de uma soma e uma diferença, o qual é igual a uma diferença de quadrados:

$$ 1^2-(\frac{x}{y})^2 $$

Na expressão acima temos uma fração algébrica ao quadrado, equivalendo a multiplicar a fração por si só:

$$ \frac{1}{1}-\frac{x^2}{y^2} $$

Resolvemos a subtração das fracções algébricas e ficamos com elas:

$$ \frac{y^2-x^2}{y^2} $$

Fatoramos o numerador utilizando novamente o produto notável da diferença dos quadrados, para obter o resultado:

$$ \frac{(y-x)(x+y)}{y^2} $$

Antes da multiplicação, o fator comum é retirado dos numeradores e denominadores:

$$ \frac{15x^2(x + 1)}{10x(2x-3)} \cdot \frac{2(2x-3)}{x+1} $$

As fracções são multiplicadas:

$$ \frac{30x^2(x + 1)(2x-3)}{10x(2x-3)(x+1)} $$

O cancelamento dos fatores semelhantes entre numerador e denominador dá o resultado:

$$ \frac{3x}{1} = 3x $$