Funções implícitas podem ser derivadas derivando cada termo da função em relação a x. Para isso, as regras da cadeia e do produto são frequentemente utilizadas. Depois, a equação obtida é resolvida para dy/dx.
A seguir, vamos resolver vários exercícios sobre derivadas de funções implícitas. Além disso, vamos ver alguns exercícios práticos.
Como encontrar derivadas de funções implícitas
Lembre-se que funções implícitas são funções que não são expressas na forma $latex y=f(x)$. Por exemplo, $latex x^2+2xy=5$ é uma função implícita.
Em alguns casos, podemos reordenar a função implícita para obter uma função explícita de $latex x$. Por exemplo, $latex x^2+2xy=5$ pode ser escrito como:
$$y=\frac{5-x^2}{2x}$$
Poderíamos então derivar esta função usando a regra do quociente.
No entanto, em muitos casos, a função implícita não pode ser expressa na forma $latex y=f(x)$, como a função $latex x^2+3xy-4y^3=7$.
Neste caso, podemos usar o seguinte processo para derivar tais funções:
Considere a seguinte função implícita:
$latex x^2+y^2=2$
Derivando cada termo com respeito a $latex x$, nós temos:
$$\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(2)$$
A derivada de $latex x^2$ em termos de $latex x$ é $latex 2x$ e a derivada de 2 é 0, mas para o termo $latex y^2$, temos que usar a regra da cadeia:
$$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dy}(y^2)\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}$$
Então, a derivada da função é:
$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$
Agora, só temos de reordenar por $latex \frac{dy}{dx}$:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$$
Exercícios resolvidos sobre derivadas implícitas
EXERCÍCIO 1
Encontre $latex \dfrac{dy}{dx}$ por derivação implícita de:
$$x^2+y^2 =16$$
Solução
Derivando ambos os lados da igualdade:
$$ (x^2+y^2)^{\prime}=(16)^{\prime}$$
$$ (x^2)^{\prime}+(y^2)^{\prime} =(16)^{\prime}$$
Uma vez que a derivada de uma constante é 0, temos:
$$ 2x+2yy^{\prime} =0$$
Ou seja:
$$ 2x+2yy^{\prime} =0$$
Como: $latex y^{\prime} =\dfrac{dy}{dx} $, então:
$$ 2x+2y\dfrac{dy}{dx} =0$$
Resolvendo, obtemos:
$$\dfrac{dy}{dx} =-\dfrac{x}{y}$$
EXERCÍCIO 2
Derive implicitamente à seguinte função para encontrar $latex \frac{dy}{dx}$:
$$x^2y=4x+3$$
Solução
Começamos por derivar cada termo em relação a $latex x$:
$$\frac{d}{dx}(x^2y)=\frac{d}{dx}(4x)+\frac{d}{dx}(3)$$
O termo $latex x^2y$ pode ser derivado com respeito a $latex x$ usando a regra do produto. Então, temos:
$$x^2\frac{dy}{dx}+y(2x)=4+0$$
Quando rearranjamos a equação por $latex \frac{dy}{dx}$, temos:
$$x^2\frac{dy}{dx}=4-2xy$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{4-2xy}{x^2}$$
EXERCÍCIO 3
O que é a derivada $latex \frac{dy}{dx}$ da seguinte função?
$$(x+y)^4-6x^2=0$$
Solução
Derivando cada termo com respeito a $latex x$, temos:
$$\frac{d}{dx}(x+y)^4-\frac{d}{dx}(6x^2)=0$$
Podemos derivar o termo $latex (x+y)^4$ usando a regra da cadeia:
$$4(x+y)^3\left(1+\frac{dy}{dx}\right)-12x=0$$
A expressão resolvida para $latex \frac{dy}{dx}$ é:
$$1+\frac{dy}{dx}=\frac{12x}{4(x+y)^3}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{12x}{4(x+y)^3}-1$$
EXERCÍCIO 4
Implicitamente, derivar a função para encontrar $latex y^{\prime}$:
$$\ln(x+y)=x$$
Solução
O primeiro passo é colocar a primeira derivada em ambos os lados da igualdade:
$$\left[\ln(x+y)\right]^{\prime}=x^{\prime}$$
Imediatamente, as regras de derivação são aplicadas, sem esquecer a derivada interna no argumento do logaritmo natural:
$$\frac{(x+y)^{\prime}}{x+y}=1$$
$$\frac{1+y^{\prime}}{x+y}=1$$
$$1+y^{\prime}=x+y$$
O passo final é isolar $latex y ^{\prime}$:
$$y^{\prime}=x+y-1$$
EXERCÍCIO 5
Calcular $latex \dfrac{dy}{dx}$ para a seguinte função implícita:
$$3x^2y+4x=2y^3-7x^4$$
Solução
Seguindo o procedimento do exemplo anterior, começamos por derivar cada lado da igualdade:
$$(3x^2y+4x)^{\prime}=(2y^3-7x^4)^{\prime}$$
$$ (3x^2y)^{\prime}+(4x)^{\prime}=(2y^3)^{\prime}-(7x^4)^{\prime}$$
As regras de produto e de potência de derivação são então aplicadas:
$$ 6xy +3x^2y^{\prime}+4=6y^2y^{\prime}-28x^3$$
Então, os termos contendo $latex y^{\prime}$ são agrupados:
$$ 3x^2y^{\prime}-6y^2y^{\prime}=-28x^3-6xy-4 $$
Consideramos o factor comum $latex e^{\prime}$:
$$ y^{\prime}(3x^2-6y^2)=-28x^3-6xy-4 $$
E resolvemos:
$$ y^{\prime}=\dfrac{-28x^3-6xy-4}{3x^2-6y^2} $$
Como $latex y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} $, temos:
$$\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{-28x^3-6xy-4}{(3x^2-6y^2)(3x^2-6y^2)} $$
$$\dfrac{dy}{dx} =-\left(\dfrac{2}{9}\right) \dfrac{14x^3+3xy+2}{(x^2-2y^2)^2}$$
EXERCÍCIO 6
Encontre a equação da linha tangente à curva $latex x^3+y^3=9$ no ponto $latex (1,2)$.
Solução
O primeiro passo é encontrar $latex \frac{dy}{dx}$, para o qual é conveniente derivar implicitamente:
$$ (x^3+y^3)^{\prime}=(9)^{\prime}$$
$$ 3x^2+3y^2y^{\prime}=0$$
Portanto:
$$ y^{\prime}=-\frac{x^2}{y^2}$$
O declive $latex m$ da reta tangente à curva a $latex (1,2)$ é obtida avaliando $latex y^{\prime}$ nesse ponto:
$$m=-\left.\frac{x^{2}}{y^2} \right|_{x_o=1,y_o=2}=-\frac{1}{4}$$
Uma vez obtido o declive, a equação da reta tangente é:
$$y-y_o=m(x-x_o)$$
$$y-2=-\frac{1}{4}(x-1)$$
$$y=-\frac{x}{4}+\frac{9}{4}$$
$$4y=9-x$$
EXERCÍCIO 7
Encontre a equação da reta tangente à curva $latex \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$, no ponto $latex \left(-5,\dfrac{9}{4}\right)$.
Solução
Determinamos $latex \dfrac{dy}{dx}$ por derivação implícita:
$$\left[\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\right]^{\prime}=(1)^{\prime}$$
$$\frac{x}{8}-\frac{2yy^{\prime}}{9}=0$$
$$y^{\prime}=\frac{9x}{16y}$$
O declive $latex m$ da reta tangente à curva no ponto indicado é obtida avaliando $latex y^{\prime}$ nas coordenadas $latex \left(-5,\dfrac{9}{4} \right)$:
$$m=-\left.\frac{9x}{16y} \right|_{x_o=-5,y_o=\frac{9}{4}}=\dfrac{9(-5)}{16\left(\dfrac{9}{4}\right)}=-\dfrac{5}{4}$$
A equação da reta tangente procurada é:
$$y-y_o=m(x-x_o)$$
No qual os valores $latex m =-\dfrac{5}{4}$, $latex x_o=-5$ e $latex y_o=\dfrac{9}{4}$ são substituídos:
$$y-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}\left[x-(-5)\right]$$
$$4y-9=-20x-25$$
$$4y=-20x-16$$
E a recta procurada é, finalmente:
$$y=-5x-4$$
EXERCÍCIO 8
Encontre $latex y^{\prime}$ para:
$$ x = \sec\left(\frac{1}{y}\right)$$
Solução
Derivamos os dos dois lados da igualdade:
$$ x^{\prime} = \left[\sec\left(\frac{1}{y}\right)\right]^{\prime}$$
Como $latex(\sec u)´=\sec u\tan u u´$, temos:
$$ 1 = \sec\left(\frac{1}{y}\right)\tan \left(\frac{1}{y}\right)(-1)y^{-2}y^{\prime} $$
Finalmente, isolamos $latex y^{\prime}$:
$$y^{\prime}=-\frac{y^2}{\sec\left(\dfrac{1}{y}\right)\tan \left(\dfrac{1}{y}\right)}$$
EXERCÍCIO 9
Encontre $latex \dfrac{dy}{dx}$ na seguinte função dada implicitamente:
$$\sqrt {xy}+2x=\sqrt {y}$$
Solução
As raízes quadradas aparecem nesta função, por isso é conveniente escrevê-las como expoentes fracionários, para facilitar o cálculo:
$$\sqrt {xy}+2x=\sqrt{y}$$
$$(xy)^\frac{1}{2}+2x=(y)^\frac{1}{2}$$
$$x^\frac{1}{2}y^\frac{1}{2}+2x=y^\frac{1}{2}$$
As regras de derivação são então aplicadas a ambos os lados da igualdade:
$$[x^\frac{1}{2}y^\frac{1}{2}+2x]^{\prime}=[(y)^\frac{1}{2}]^{\prime}=$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}}y+x^\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}+2=\left(\frac{1}{2}\right)(y)^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}$$
O próximo passo é agrupar os termos que contêm $latex y^{\prime}$ à esquerda da igualdade e multiplicar tudo por $latex 2$ para eliminar os denominadores:
$$x^\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}-y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}=-4-x^{-\frac{1}{2}}y$$
Fatorando $latex y^{\prime}$, temos:
$${y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}}\left(x^\frac{1}{2}-1\right)={-4-x^{-\frac{1}{2}}y}$$
Antes de resolver, reescrevemos novamente usando raízes:
$$y^{\prime}\left(\frac{\sqrt x-1}{\sqrt y}\right)=-4-\frac{y}{\sqrt x}=\frac{-4\sqrt x-y}{\sqrt x}$$
Resolvendo para $latex y^{\prime}$, temos:
$$y^{\prime}=-\frac{(4\sqrt x+y)\sqrt y}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$$
$$y^{\prime}=\frac{4\sqrt {xy}+y\sqrt y}{x-\sqrt x}$$
EXERCÍCIO 10
Calcule a derivada implícita $latex y^{\prime}$ na expressão:
$$e^{2x+3y}=x^2-\ln (xy^3)$$
Solução
Derivando ambos os lados da igualdade e aplicando as regras de derivação:
$$\left[e^{2x+3y}\right]^{\prime}=\left[x^2-\ln (xy^3)\right]^{\prime}$$
$$e^{2x+3y}(2+3y^{\prime})=2x-\frac{1}{xy^3}(y^3+3xy^2y^{\prime})$$
$$2e^{2x+3y}+3y^{\prime}e^{2x+3y}=2x-\frac{1}{x}-\frac{3y^{\prime}}{y}$$
A seguir, os termos contendo $latex y^{\prime}$ estão agrupados à esquerda da igualdade:
$$3y^{\prime}e^{2x+3y}+3y^{\prime}y^{-1}=2x-x^{-1}-2e^{2x+3y}$$
Fatoramos $latex y^{\prime}$:
$$3y^{\prime}\left(e^{2x+3y}+y^{-1}\right)=2x-x^{-1}-2e^{2x+3y}=$$
E, finalmente, resolvemos para $latex y^{\prime}$:
$$y^{\prime}=\frac{2x-x^{-1}-2e^{2x+3y}}{3(e^{2x+3y}+y^{-1})}$$
EXERCÍCIO 11
Encontre $latex \dfrac{dy}{dx}$ para a seguinte função dada de forma implícita:
$$\cos(x^2+1)=xe^y$$
Solução
Começamos por colocar a derivada em ambos os lados da igualdade:
$$\left[\cos(x^2+1)\right]^{\prime}=\left(xe^y\right)^{\prime}$$
Depois aplicamos as regras de derivação para o co-seno à esquerda, cujo argumento é $latex x^2+1$ e o exponencial à direita:
$$-2x\sin(x^2+1)=e^y+xe^yy^{\prime}$$
$$xe^yy^{\prime}=-2x\sin(x^2+1)-e^y$$
A seguir isolamos $latex y^{\prime}$:
$$y^{\prime}=\frac{-2x\sin(x^2+1)-e^y}{xe^y}$$
Como $latex y^{\prime} =\dfrac{dy}{dx} $, temos:
$$\dfrac{dy}{dx} =\frac{-2x\sin(x^2+1)-e^y}{xe^y}$$
EXERCÍCIO 12
Encontre $latex\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para:
$$y^2=x^3$$
Solução
A primeira derivada $latex y^{\prime}$ é:
$$(y^2)^{\prime}=(x^3)^{\prime}$$
$$2yy^{\prime}=3x^2$$
Isolando $latex y^{\prime}$, temos:
$$y^{\prime}=\frac{3x^2}{2y}$$
$$y^{\prime}=\frac{3}{2}x^2y^{-1}$$
Agora consideramos a segunda derivada $latex y^{\prime \prime }$:
$$y^{\prime \prime}=\left[\frac{3}{2}x^2y^{-1}\right]^{\prime}$$
O passo seguinte é aplicar a derivada de um produto ao lado direito da igualdade:
$$y^{\prime \prime}=\frac{3}{2}\left[2xy^{-1}+x^2(-1)y^{-2}y^{\prime}\right]$$
$$y^{\prime \prime}=\frac{3}{2}\left[2xy^{-1}-x^2y^{-2}y^{\prime}\right]$$
Depois substituímos a expressão por $latex y^{\prime}$ que obtivemos anteriormente:
$$y^{\prime \prime}=\frac{3}{2}\left[2xy^{-1}-x^2y^{-2}\left(\frac{3}{2}x^2y^{-1}\right)\right]$$
A resposta é:
$$y^{\prime \prime}=\frac{3xy^{-1}}{4}\left(4-3x^3y^{-2}\right)$$
Exercícios de derivação implícita para resolver
Encontre a derivada $latex \frac{dy}{dx}$ da seguinte função: $$\frac{x^2}{x+y}=2$$
Escreva o resultado na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
