As derivadas podem ser calculadas usando a definição de uma derivada com limites. Esta definição consiste em usar o limite para encontrar o declive de uma reta secante a dois pontos na função de forma que se aproxime o valor do declive da reta tangente.
A seguir, veremos 10 problemas resolvidos de derivadas usando limites. Além disso, você poderá testar suas habilidades com alguns exercícios práticos.
Como resolver derivadas usando limites
Para calcular a derivada de uma função usando limites, podemos usar a seguinte fórmula:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Esta fórmula tem as seguintes partes importantes:
- $latexf(x+h)$. Isso significa que temos que avaliar a função dada usando a entrada $latex x+h$.
- $látex f(x)$. Esta é a função original em termos de x.
- h no denominador. Este valor deve permanecer o mesmo até que avaliemos o limite ou até que seja simplificado.
- $latex \lim _{h \to 0}$ é o limite. Geralmente, resolvemos substituindo 0 por todos os h que encontramos.
Então, para aplicar esta fórmula, temos que começar encontrando a expressão $latex f(x+h)$ no numerador. Em seguida, subtraímos a função original $latex f(x)$.
Geralmente, podemos simplificar o h no denominador com o h no numerador. Finalmente, usamos $latex h=0$ para resolver o limite (isso funcionará na maioria dos casos, mas não em todos).
10 Exercícios resolvidos de derivadas usando limites
EXERCÍCIO 1
Encontre a derivada de $latex f(x)=8x$ usando limites.
Solução
Para encontrar a derivada de uma função com limites, temos que usar a seguinte fórmula:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Então, usamos a função $latex f(x)=8x$ para reescrever o numerador e temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8(x+h)-8x}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8x+8h-8x}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8h}{h}$$
Agora, podemos simplificar o h no numerador com o h no denominador:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(8)$$
Como não temos mais nenhum h, simplesmente removemos o limite:
$latex f'(x)=8$
EXERCÍCIO 2
Use limites para encontrar a derivada de $latex f(x)=x^2$.
Solução
Usamos a seguinte fórmula para encontrar a derivada:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Agora, usamos $latex f(x)=x^2$ no numerador e temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h}$$
Fatorando o h do numerador e simplificando com o h do denominador, temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(2x+h)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(2x+h)$$
Podemos resolver o limite substituindo $latex h=0$ na expressão:
$latex f'(x)=2x+0$
$latex f'(x)=2x$
EXERCÍCIO 3
Calcule a derivada de $latex f(x)=4x^2+5$ usando limites.
Solução
Usamos a fórmula para uma derivada por limites:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Para resolver, usamos a função $latex f(x)=4x^2+5$ no numerador da fórmula:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(4(x+h)^2+5)-(4x^2+5)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4(x^2+2hx+h^2)+5-4x^2-5}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4x^2+8hx+4h^2+5-4x^2-5}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8hx+4h^2}{h}$$
Podemos fatorar o h no numerador e simplificar com o h no denominador:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(8x+4h)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(8x+4h)$$
Para resolver o limite, substituímos $latex h=0$ na expressão:
$latex f'(x)=8x+4(0)$
$latex f'(x)=8x$
EXERCÍCIO 4
Determine a derivada de $latex f(x)=3x^2+5x$ usando limites.
Solução
Começamos com a seguinte fórmula:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Agora, usamos a função $latex f(x)=3x^2+5x$ no numerador e temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(3(x+h)^2+5(x+h))-(3x^2+5x)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3(x^2+2hx+h^2)+5x+5h-3x^2-5x}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2+6hx+3h^2+5x+5h-3x^2-5x}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6hx+3h^2+5h}{h}$$
Fatorando o h do numerador e simplificando com o denominador, temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(6x+3h+5)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(6x+3h+5)$$
Para resolver o limite, usamos $latex h=0$ e temos:
$latex f'(x)=6x+3(0)+5$
$latex f'(x)=6x+5$
EXERCÍCIO 5
Encontre a derivada de $latex f(x)=4x^2-7x$ usando limites.
Solução
Temos a seguinte fórmula:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Então, usamos a função $latex f(x)=4x^2-7x$ no numerador para reescrevê-la:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(4(x+h)^2-7(x+h))-(4x^2-7x)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4(x^2+2hx+h^2)-7x-7h-4x^2+7x}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4x^2+8hx+4h^2-7x-7h-4x^2+7x}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8hx+4h^2-7h}{h}$$
Podemos fatorar o h no numerador para simplificar com o h no denominador e temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(8x+4h-7)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(8x+4h-7)$$
Finalmente, resolvemos o limite, usando $latex h=0$ e temos:
$latex f'(x)=8x+4(0)-7$
$latex f'(x)=8x-7$
EXERCÍCIO 6
Encontre a derivada da função $latex f(x)=6x-x^2$.
Solução
Começamos com a fórmula para derivadas por limites:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Agora, usamos a função $latex f(x)=6x-x^2$ no numerador e temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(6(x+h)-(x+h)^2)-(6x-x^2)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6x+6h-(x^2+2hx+h^2)-6x+x^2}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6x+6h-x^2-2hx-h^2-6x+x^2}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6h-2hx-h^2}{h}$$
Fatoramos o h do numerador para simplificar com o h do denominador:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(6-2x-h)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(6-2x-h)$$
Usamos o valor $latex h=0$ na expressão para resolver o limite:
$latex f'(x)=6-2x-0$
$latex f'(x)=6-2x$
EXERCÍCIO 7
Encontre a derivada de $latex f(x)=x^3$ usando limites.
Solução
Começamos com a seguinte fórmula:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Usando a função $latex f(x)=x^3$ no numerador, temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$$
Agora, podemos fatorar o h do numerador para simplificar com o denominador:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)$$
Usando a substituição $latex h=0$, podemos resolver o limite:
$latex f'(x)=3x^2+3x(0)+0^2$
$latex f'(x)=3x^2$
EXERCÍCIO 8
Use limites para encontrar a derivada de $latex f(x)=x^3+4x$
Solução
Temos a fórmula
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Então, usamos a função $latex f(x)=x^3+4x$ no numerador e temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{((x+h)^3+4(x+h))-(x^3+4x)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+4x+4h-x^3-4x}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3+4h}{h}$$
Agora, vamos fatorar o h do numerador para simplificar:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2+4)}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2+4)$$
Para resolver o limite, usamos a substituição $latex h=0$:
$latex f'(x)=3x^2+3x(0)+0^2+4$
$latex f'(x)=3x^2+4$
EXERCÍCIO 9
Use limites para encontrar a derivada de $latex f(x)=\frac{1}{x}$.
Solução
Vamos usar a fórmula:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Então, usando a função $latex f(x)=\frac{1}{x}$ para reescrever o numerador, temos:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}$$
Para simplificar o numerador, podemos usar o denominador comum $latex (x+h)x$ para combinar e subtrair as frações:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{x-x-h}{x^2+xh)}}{h}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{-h}{x^2+xh)}}{h}$$
Agora, reescreva a fração e simplifique para o h do numerador e denominador:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{-h}{h(x^2+xh)}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{-1}{x^2+xh}$$
Finalmente, vamos resolver o limite substituindo $latex h=0$ na expressão:
$$ f'(x)=\frac{-1}{x^2+x(0)}$$
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$
EXERCÍCIO 10
Use limites para encontrar a derivada da função raiz quadrada, $latex f(x)=\sqrt{x}$.
Solução
Temos a fórmula:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Usamos a função raiz quadrada, $latex f(x)=\sqrt{x}$, para reescrever o numerador:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$$
A expressão do numerador pode ser simplificada multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$
Agora, podemos simplificar o h no numerador com o h no denominador:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$$
Finalmente, podemos resolver o limite substituindo $latex h=0$ na expressão:
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}$$
$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Exercícios de derivadas usando limites para resolver
Use limites para encontrar a derivada de $latex f(x)=7x^2-8x$.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
