A derivada da função arco cotangente é igual a -1/(1+x2). Esta derivada pode ser provada usando o teorema de Pitágoras e a Álgebra.
Neste artigo, aprenderemos como derivar a função cotangente inversa. Veremos considerações gerais com sua notação, uma demonstração, a comparação gráfica da função não derivada e derivada e alguns exemplos.
- Evite confusão no uso de $latex \text{arccot} (x)$, $latex \cot^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\cot(x)}$, $latex \cot^n(x)$
- Prova da derivada da função arco cotangente
- Gráfico do arco cotangente de x vs. a derivada do arco cotangente de x
- Exemplos
- Prática de derivadas de funções cotangente inversas compostas inversas
- Veja também
Evite confusão no uso de $latex \text{arccot} (x)$, $latex \cot^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\cot(x)}$, $latex \cot^n(x)$
Vamos começar esclarecendo o uso das diferentes denotações entre $latex \text{arccot}(x)$, $latex \cot^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\cot { (x)}}$ e $latex \cot^{n}{(x)}$, pois trocando esses símbolos, podemos obter erros de derivação.
Resumindo a definição desses símbolos, temos
$latex \text{arccot}(x) = \cot^{-1}{(x)}$
Os símbolos $latex \text{arccot}$ e $latex \cot^{-1}$ são usados para denotar a cotangente inversa. \text{arccot} é usado como símbolo verbal da função cotangente inversa, enquanto $latex \cot^{-1}$ é usado como símbolo matemático da função cotangente inversa para uma função mais formal.
No caso da denotação $latex \cot^{-1}{(x)}$, devemos considerar que $latex -1$ não é um expoente algébrico de uma cotangente não inversa. O $latex -1$ usado para a cotangente inversa representa que a cotangente é inversa e não elevada para $latex -1$.
Portanto,
$latex \cot^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\cot{(x)}}$
E dado como $latex \cot^{2}{(x)}$ ou $latex \cot^{n}{(x)}$, onde n é qualquer expoente algébrico de uma cotangente não inversa, você NÃO DEVE usar a fórmula da cotangente inversa, pois nesses dados, tanto 2 quanto qualquer expoente n são tratados como expoentes algébricos de uma cotangente não inversa.
Prova da derivada da função arco cotangente
Neste teste, usaremos principalmente os conceitos de triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras, as funções trigonométricas de cotangente e cossecante e alguma álgebra básica. Usaremos um triângulo retângulo $latex \Delta ABC$, mas usaremos as seguintes variáveis para facilitar a ilustração.
onde para cada unidade de um lado oposto ao ângulo y, existe um lado x adjacente ao ângulo y e uma hipotenusa igual a $latex \sqrt{1+x^2}$.
Usando esses componentes de um triângulo retângulo, podemos encontrar o ângulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente a função cotangente usando seus lados adjacentes e opostos.
$latex \cot{(\theta)} = \frac{adj}{opp}$
$latex \cot{(y)} = \frac{x}{1}$
$latex \cot{(y)} = x$
Agora, podemos derivar implicitamente essa equação usando a derivada da função trigonométrica da cotangente para o lado esquerdo e a regra da potência para o lado direito. Ao fazer isso, temos
$latex \frac{d}{dx} (\cot{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$
$latex \frac{d}{dx} (\cot{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} (-\csc^{2}{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\csc^{2}{(y)}}$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^{2}{(y)}}$
Obtendo a cossecante do ângulo y do nosso triângulo retângulo dado, temos
$latex \csc{(y)} = \frac{hyp}{opp}$
$latex \csc{(y)} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{1}$
Como precisamos substituir $latex \csc{(y)}$ em $latex \csc^{2}{(y)}$, precisamos elevar ambos os lados ao quadrado
$latex \csc^{2}{(y)} = \left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{1}\right)^2$
$latex \csc^{2}{(y)} = \left(\sqrt{1+x^2}\right)^2$
$latex \csc^{2}{(y)} = 1+x^2$
Então podemos substituir $latex \csc^{2}{(y)}$ na diferenciação implícita de $latex \cot{(y)} = x$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^{2}{(y)}}$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$
Portanto, limpando o ângulo y algebricamente e obtendo sua derivada, temos
$latex \cot{(y)} = x$
$latex y = \frac{x}{\cot}$
$latex y = \cot^{-1}{(x)}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \cot^{-1}{(x)} \right)$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$
que agora é a fórmula derivada da cotangente inversa de x.
Agora, para a derivada de uma cotangente inversa de qualquer função diferente de x, podemos aplicar a derivada da fórmula da cotangente inversa junto com a fórmula da regra da cadeia. Ao fazer isso, temos
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \cot^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
onde $latex u$ é qualquer função diferente de x.
Gráfico do arco cotangente de x vs. a derivada do arco cotangente de x
Dada a função
$latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$
seu gráfico é
E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$
que é ilustrado graficamente como
Ilustrando os dois gráficos em um, temos
Analisando as diferenças dessas funções nesses gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$ tem domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da faixa de
$latex (0,\pi)$ ou $latex 0<y<\pi$
enquanto a derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ tem domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da faixa de
$latex [-1, 0)$ ou $latex -1 \leq y < 0$
Exemplos
Abaixo estão alguns exemplos de como derivar uma função composta cotangente inversa.
EXEMPLO 1
Qual é a derivada de $latex f(x) = \cot^{-1}(11x)$?
Solução
Temos uma função cotangente inversa composta, por isso vamos usar a regra da cadeia para a derivar.
Considerando $latex u=11x$ como a função interna, podemos escrever $latex f(u)=\tan^{-1}(u)$. Assim, aplicando a regra da cadeia temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+u^2} \times 11$$
Substituindo $latex u=11x$ de volta à função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{11}{1+(11x)^2}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{11}{1+121x^2}$$
EXEMPLO 2
Encontre a derivada da função $latex F(x) = cot^{-1}(x^3+5)$.
Solução
Vamos usar a regra da cadeia. Assim, escrevemos a função tangente inversa como $latex f (u) = \cot^{-1}(u)$, onde $latex u = x^3+5$.
Agora, calculamos a derivada da função externa $latex f(u)$:
$$\frac{d}{du} ( \cot^{-1}(u) ) = -\frac{1}{1+u^2}$$
Depois, calculamos a derivada da função interna $latex g(x)=u=x^3+5$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(x^3+5)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 3x^2$$
A regra da cadeia diz-nos que temos de multiplicar a derivada da função externa pela derivada da função interna:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot 3x^2$$
Finalmente, substituímos $latex u$ de volta e simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+(x^3+5)^2} \cdot 3x^2$$
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{1+x^6+10x^3+25}$$
$$F'(x) = -\frac{3x^2}{x^6+10x^3+26}$$
EXEMPLO 3
Se temos a função $latex f(x) = \cot^{-1}(\sqrt{x})$, qual é sua derivada?
Solução
A função raiz quadrada é a função interna. Assim, como $latex u=\sqrt{x}$ é igual a $latex u=x^{\frac{1}{2}}$, temos a seguinte derivada:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Como temos $latex f(u)=\cot^{-1}(u)$ aplicando a regra da cadeia nos dá:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+u^2} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Substituindo $latex u=\sqrt{x}$ e simplificando, temos:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$$
Prática de derivadas de funções cotangente inversas compostas inversas
Veja também
Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas inversas? Veja estas páginas:
- Derivada do arco tan (tangente inversa) – Demonstração e Gráficos
- Derivada do arco seno (seno inverso) – Demonstração e Gráficos
- Derivada do arco cos (cosseno inverso) – Demonstração e Gráficos
- Derivada de arco sec (secante inversa) – Demonstração e Gráficos
- Derivada de arc csc (Cossecante Inverso) – Demonstração e Gráficos
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
