Derivada do arco cos (cosseno inverso) – Demonstração e Gráficos

A derivada da função cosseno inversa é igual a menos 1 sobre a raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado, -1/(√(1-x2)). Esta derivada pode ser provada usando o teorema de Pitágoras e a álgebra.

Neste artigo, vamos aprender como derivar a função cosseno inversa. Vamos cobrir breves fundamentos, uma demonstração, uma comparação gráfica da função e sua derivada, e alguns exemplos.

CÁLCULO
Derivado-de-arco-coseno-cosseno-inverso

Relevante para

Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada de arco cosseno de x.

Ver prova

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Derivado-de-arco-coseno-cosseno-inverso

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Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada de arco cosseno de x.

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Evite confusão no uso de $latex \arccos(x)$, $latex \cos^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\cos(x)}$, $latex \cos^n(x)$

É importante evitar possíveis confusões usando as diferentes denotações $latex \arccos{(x)}$, $latex \cos^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\cos{ (x)}}$ e $latex \cos^{n}{(x)}$ porque pode levar a erros de derivação.

Resumindo a definição desses símbolos, temos

$latex \arccos{(x)} = \cos^{-1}{(x)}$

Os símbolos $latex \arccos$ e $latex \cos^{-1}$ são usados ​​para representar o cosseno inverso. $latex \arccos$ é comumente usado como o símbolo verbal para a função inversa do cosseno, enquanto $latex \cos^{-1}$ é usado como um símbolo matemático para a função inversa do cosseno para uma função mais formal.

Entretanto, no caso da denotação $latex \cos^{-1}{(x)}$, devemos considerar que $latex -1$ não é um expoente algébrico de um cosseno não inverso. O $latex -1$ usado para o cosseno inverso representa que o cosseno é inverso e não foi aumentado para $latex -1$.

Então,

$latex \cos^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\cos{(x)}}$

E $latex \cos^{2}{(x)}$ ou $latex \cos^{n}{(x)}$, onde n é qualquer expoente algébrico de um cosseno não inverso, a fórmula do cosseno NÃO DEVE ser usado inverso, pois nesses dados, 2 e qualquer expoente n são tratados como expoentes algébricos de um cosseno não inverso.


Prova da derivada da função arco cosseno

Nesta demonstração, usaremos principalmente os conceitos de triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras, a função trigonométrica de cosseno e seno e alguma álgebra básica. Suponha que temos um triângulo $latex \Delta ABC$,

Triângulo-retangular-aconchegante-x

onde para cada unidade hipotenusa, existe um lado x perpendicular ao lado $latex \sqrt{1-x^2}$ e um ângulo y adjacente ao lado x e oposto a $latex \sqrt{1-x^2}$

Usando esses componentes de um triângulo retângulo, podemos encontrar o ângulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente a função cosseno usando seu lado adjacente x e a hipotenusa 1.

$latex \cos{(\theta)} = \frac{adj}{hyp}$

$latex \cos{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex cos{(y)} = x$

Agora, podemos derivar implicitamente essa equação usando a derivada da função cosseno trigonométrica para o lado direito e a regra da potência para o lado direito. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (-\sin{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-sin{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{sin{(y)}}$

Obtendo o seno do nosso triângulo retângulo dado, temos

$latex \sin{(y)} = \frac{opp}{hyp}$

$latex \sin{(y)} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$

$latex \sin{(y)} = \sqrt{1-x^2}$

Então podemos substituir $latex \sin{(y)}$ pela diferenciação implícita de $latex \cos{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{sin{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Portanto, isolando o ângulo y algebricamente e obtendo sua derivada, temos

$latex \cos{(y)} = x$

$latex y = \cos^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

que agora é a fórmula para a derivada do arco cosseno de x.

Agora, para a derivada de um cosseno inverso de qualquer função diferente de x, podemos aplicar a fórmula derivada do cosseno inverso junto com a fórmula da regra da cadeia. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \cos^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

onde $latex u$ é qualquer função diferente de x.


Gráfico do arco cosseno de x vs. a derivada do arco cosseno de x

O gráfico da função

$latex f(x) = \cos^{-1}{(x)}$

é

arccosx-plot

E diferenciando a função $latex f(x) = \cos^{-1}{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

que tem o seguinte gráfico

Plot-of-the-derivative-of-arccosx

Comparando seus gráficos, temos

Gráfico-de-arccos-x-e-sua-derivada

Usando seus gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \cos^{-1}{(x)}$ tem um domínio de

$latex [-1,1]$ ou $latex -1 \leq x \leq 1$

e existe dentro da imagem de

$latex [0,\pi]$ ou $latex 0 \leq y \leq \pi$

enquanto a derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ tem um domínio de

$latex (-1,1)$ ou $latex -1 < x < 1$

e existe dentro da imagem de

$latex (-\infty,-1]$ ou $latex y \leq -1$


Exemplos

Os exemplos seguintes mostram como derivar as funções cosseno inversas compostas.

EXEMPLO 1

Qual é a derivada de $latex f(x) = \cos^{-1}(8x)$?

Solução

EXEMPLO 2

Encontre a derivada da função $latex F(x) = \cos^{-1}(x^2+10)$

Solução

EXEMPLO 3

Encontre a derivada de $latex f(x) = \cos^{-1}(\sqrt{x})$

Solução

Prática de derivadas de funções cosseno inversas compostas

Prática de derivadas de cosseno inverso
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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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