A derivada da função cosseno inversa é igual a menos 1 sobre a raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado, -1/(√(1-x2)). Esta derivada pode ser provada usando o teorema de Pitágoras e a álgebra.
Neste artigo, vamos aprender como derivar a função cosseno inversa. Vamos cobrir breves fundamentos, uma demonstração, uma comparação gráfica da função e sua derivada, e alguns exemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada de arco cosseno de x.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada de arco cosseno de x.
Evite confusão no uso de $latex \arccos(x)$, $latex \cos^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\cos(x)}$, $latex \cos^n(x)$
É importante evitar possíveis confusões usando as diferentes denotações $latex \arccos{(x)}$, $latex \cos^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\cos{ (x)}}$ e $latex \cos^{n}{(x)}$ porque pode levar a erros de derivação.
Resumindo a definição desses símbolos, temos
$latex \arccos{(x)} = \cos^{-1}{(x)}$
Os símbolos $latex \arccos$ e $latex \cos^{-1}$ são usados para representar o cosseno inverso. $latex \arccos$ é comumente usado como o símbolo verbal para a função inversa do cosseno, enquanto $latex \cos^{-1}$ é usado como um símbolo matemático para a função inversa do cosseno para uma função mais formal.
Entretanto, no caso da denotação $latex \cos^{-1}{(x)}$, devemos considerar que $latex -1$ não é um expoente algébrico de um cosseno não inverso. O $latex -1$ usado para o cosseno inverso representa que o cosseno é inverso e não foi aumentado para $latex -1$.
Então,
$latex \cos^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\cos{(x)}}$
E $latex \cos^{2}{(x)}$ ou $latex \cos^{n}{(x)}$, onde n é qualquer expoente algébrico de um cosseno não inverso, a fórmula do cosseno NÃO DEVE ser usado inverso, pois nesses dados, 2 e qualquer expoente n são tratados como expoentes algébricos de um cosseno não inverso.
Prova da derivada da função arco cosseno
Nesta demonstração, usaremos principalmente os conceitos de triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras, a função trigonométrica de cosseno e seno e alguma álgebra básica. Suponha que temos um triângulo $latex \Delta ABC$,
onde para cada unidade hipotenusa, existe um lado x perpendicular ao lado $latex \sqrt{1-x^2}$ e um ângulo y adjacente ao lado x e oposto a $latex \sqrt{1-x^2}$
Usando esses componentes de um triângulo retângulo, podemos encontrar o ângulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente a função cosseno usando seu lado adjacente x e a hipotenusa 1.
$latex \cos{(\theta)} = \frac{adj}{hyp}$
$latex \cos{(y)} = \frac{x}{1}$
$latex cos{(y)} = x$
Agora, podemos derivar implicitamente essa equação usando a derivada da função cosseno trigonométrica para o lado direito e a regra da potência para o lado direito. Ao fazer isso, temos
$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$
$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} (-\sin{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-sin{(y)}}$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{sin{(y)}}$
Obtendo o seno do nosso triângulo retângulo dado, temos
$latex \sin{(y)} = \frac{opp}{hyp}$
$latex \sin{(y)} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$
$latex \sin{(y)} = \sqrt{1-x^2}$
Então podemos substituir $latex \sin{(y)}$ pela diferenciação implícita de $latex \cos{(y)} = x$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{sin{(y)}}$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Portanto, isolando o ângulo y algebricamente e obtendo sua derivada, temos
$latex \cos{(y)} = x$
$latex y = \cos^{-1}{(x)}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1}{(x)} \right)$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
que agora é a fórmula para a derivada do arco cosseno de x.
Agora, para a derivada de um cosseno inverso de qualquer função diferente de x, podemos aplicar a fórmula derivada do cosseno inverso junto com a fórmula da regra da cadeia. Ao fazer isso, temos
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \cos^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
onde $latex u$ é qualquer função diferente de x.
Gráfico do arco cosseno de x vs. a derivada do arco cosseno de x
O gráfico da função
$latex f(x) = \cos^{-1}{(x)}$
é
E diferenciando a função $latex f(x) = \cos^{-1}{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
que tem o seguinte gráfico
Comparando seus gráficos, temos
Usando seus gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \cos^{-1}{(x)}$ tem um domínio de
$latex [-1,1]$ ou $latex -1 \leq x \leq 1$
e existe dentro da imagem de
$latex [0,\pi]$ ou $latex 0 \leq y \leq \pi$
enquanto a derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ tem um domínio de
$latex (-1,1)$ ou $latex -1 < x < 1$
e existe dentro da imagem de
$latex (-\infty,-1]$ ou $latex y \leq -1$
Exemplos
Os exemplos seguintes mostram como derivar as funções cosseno inversas compostas.
EXEMPLO 1
Qual é a derivada de $latex f(x) = \cos^{-1}(8x)$?
Solução
Temos uma função cosseno inversa composta. Então, temos de usar a regra da cadeia para a derivar.
Considerando que $latex u=8x$ é a função interna, temos $latex f(u)=\cos^{-1}(u)$. Assim, aplicando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \times 8$$
Finalmente, substituímos $latex u=8x$ de volta à função e temos:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{8}{\sqrt{1-(8x)^2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{8}{\sqrt{1-64x^2}}$$
EXEMPLO 2
Encontre a derivada da função $latex F(x) = \cos^{-1}(x^2+10)$
Solução
Vamos usar a regra da cadeia escrevendo a função do cosseno inverso como $latex f (u) = \cos^{-1}(u)$, onde $latex u = x^2+10$.
Então, começamos por escrever a derivada da função externa $latex f(u)$:
$$\frac{d}{du} ( \cos^{-1}(u) ) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$$
Agora, calculamos a derivada da função interna $latex g(x)=u=x^2+10$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(x^2+5)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 2x$$
Então, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna e temos:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 2x$$
Finalmente, substituímos $latex u$ de volta e simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(x^2+10)^2}} \cdot 2x$$
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{\sqrt{1-(x^4+20x^2+100)}}$$
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{\sqrt{-x^4-20x^2-99)}}$$
EXEMPLO 3
Encontre a derivada de $latex f(x) = \cos^{-1}(\sqrt{x})$
Solução
Nesse caso, a função de raiz quadrada é a função interna. Podemos derivá-la escrevendo $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Agora, considerando que $latex f(u)=\cos^{-1}(u)$, aplicamos a regra da cadeia:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Substituindo $latex u=\sqrt{x}$ e simplificando, temos:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$$
Prática de derivadas de funções cosseno inversas compostas
Veja também
Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas inversas? Veja estas páginas:
- Derivada do arco tan (tangente inversa) – Demonstração e Gráficos
- Derivada do arco seno (seno inverso) – Demonstração e Gráficos
- Derivada de arco sec (secante inversa) – Demonstração e Gráficos
- Derivada de arc csc (Cossecante Inverso) – Demonstração e Gráficos
- Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demonstração e gráficos
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
