Derivada de arc csc (Cossecante Inverso) – Demonstração e Gráficos

Evite confusão no uso de $latex \text{arccsc}(x)$, $latex \csc^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\csc(x)}$, $latex \csc^n(x)$

O uso das diferentes denotações $latex \text{arccsc}(x)$, $latex \csc^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\csc{(x)}} $ e $latex \csc^{n}{(x)}$ pode causar alguma confusão. É importante não trocar o significado desses símbolos, pois isso pode levar a erros de derivação.

$latex \text{arccsc}(x) = \csc^{-1}{(x)}$

Ambos os símbolos $latex \text{arccsc}$ e $latex \csc^{-1}$ são usados ​​para representar a cossecante inversa. $latex \text{arccos}$ é comumente usado como símbolo verbal para a função cossecante inversa, enquanto $latex \csc^{-1}$ é usado como símbolo matemático para a função cossecante inversa para uma configuração mais formal.

No caso da denotação $latex \csc^{-1}{(x)}$, devemos considerar que $latex -1$ não é um expoente algébrico de uma cossecante. O $latex -1$ usado para a cossecante inversa representa que a cossecante é inversa e não elevada para $latex -1$.

Portanto,

$latex \csc^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\csc{(x)}}$

E dados como $latex \csc^{2}{(x)}$ ou $latex \csc^{n}{(x)}$, onde n é qualquer expoente algébrico de uma cossecante não inversa, NÃO DEVE usar o fórmula do arco cossecante, pois nesses dados, 2 e qualquer expoente n são tratados como expoentes algébricos de uma cossecante não inversa.

Prova da derivada da função arco cossecante

Neste teste, usaremos principalmente os conceitos de triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras, as funções trigonométricas de cossecante e cotangente e álgebra básica. Temos um determinado triângulo retângulo $latex \Delta ABC$, mas vamos alterar as variáveis ​​para uma ilustração mais simples.

onde para cada unidade de um lado oposto ao ângulo y, existe um lado $latex \sqrt{x^2-1}$ adjacente ao ângulo y e uma hipotenusa x.

Usando esses componentes de um triângulo retângulo, podemos encontrar o ângulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente a função cossecante usando a hipotenusa x e seu lado oposto.

$latex \csc{(\theta)} = \frac{hip}{opo}$

$latex \csc{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \csc{(y)} = x$

Agora, podemos derivar implicitamente essa equação usando a derivada da função trigonométrica da cossecante para o lado esquerdo e a regra da potência para o lado direito. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{d}{dx} (\csc{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\csc{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (-\csc{(y)}\cot{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\csc{(y)}\cot{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc{(y)}\cot{(y)}}$

Obtendo a tangente do ângulo y do nosso triângulo retângulo dado, temos

$latex \cot{(y)} = \frac{adj}{opp}$

$latex \cot{(y)} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{1}$

$latex \cot{(y)} = \sqrt{x^2-1}$

Assim, podemos substituir $latex \csc{(y)}$ e $latex \cot{(y)}$ na diferenciação implícita de $latex \csc{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc{(y)}\cot{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x) \cdot \left(\sqrt{x^2-1}\right)}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

Agora temos

$latex \csc{(y)} = x$

e também

$latex hipotenusa= x$

Sabemos que uma hipotenusa negativa não pode existir. Portanto, $latex \csc{(y)}$ neste caso não pode ser negativo. É por isso que o multiplicando x no denominador da derivada da cossecante inversa deve ser considerado um valor absoluto.

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Portanto, limpando o ângulo y algebricamente e obtendo sua derivada, temos

$latex \csc{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\csc}$

$latex y = \csc^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \csc^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que agora é a fórmula derivada da cossecante inversa de x.

Agora, para a derivada de uma cossecante inversa de qualquer função diferente de x, podemos aplicar a derivada da fórmula da cossecante inversa junto com a fórmula da regra da cadeia. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \csc^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

onde $latex u$ é qualquer função diferente de x.

Gráfico de arco cossecante de x vs. a derivada da inversa da cossecante de x

Dada a função

$latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$

seu gráfico é

E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que tem o seguinte gráfico

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Analisando esses gráficos, pode-se ver que a função original $latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$ tem um domínio de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ ou todos os números reais, exceto $latex -1 < x < 1$

e existe dentro da imagem de

$latex \left[-\frac{\pi}{2},0\right) \cup \left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ ou $latex -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ exceto zero

enquanto a derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ tem um domínio de

$latex (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ ou todos os números reais, exceto $latex -1 \leq x \leq 1$

e existe dentro da imagem de

$latex (-\infty,0)$ ou $latex y < 0$

Exemplos

Os exemplos seguintes mostram como derivar as funções de cossecante inversa composta.

Prática de derivadas de funções de cossecante inversa composta

Veja também

Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas inversas? Veja estas páginas:

• Derivada do arco tan (tangente inversa) – Demonstração e Gráficos
• Derivada do arco seno (seno inverso) – Demonstração e Gráficos
• Derivada do arco cos (cosseno inverso) – Demonstração e Gráficos
• Derivada de arco sec (secante inversa) – Demonstração e Gráficos
• Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demonstração e gráficos