Derivada de arc csc (Cossecante Inverso) – Demonstração e Gráficos

Evite confusão no uso de $latex \text{arccsc}(x)$, $latex \csc^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\csc(x)}$, $latex \csc^n(x)$

O uso das diferentes denotações $latex \text{arccsc}(x)$, $latex \csc^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\csc{(x)}} $ e $latex \csc^{n}{(x)}$ pode causar alguma confusão. É importante não trocar o significado desses símbolos, pois isso pode levar a erros de derivação.

$latex \text{arccsc}(x) = \csc^{-1}{(x)}$

Ambos os símbolos $latex \text{arccsc}$ e $latex \csc^{-1}$ são usados ​​para representar a cossecante inversa. $latex \text{arccos}$ é comumente usado como símbolo verbal para a função cossecante inversa, enquanto $latex \csc^{-1}$ é usado como símbolo matemático para a função cossecante inversa para uma configuração mais formal.

No caso da denotação $latex \csc^{-1}{(x)}$, devemos considerar que $latex -1$ não é um expoente algébrico de uma cossecante. O $latex -1$ usado para a cossecante inversa representa que a cossecante é inversa e não elevada para $latex -1$.

Portanto,

$latex \csc^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\csc{(x)}}$

E dados como $latex \csc^{2}{(x)}$ ou $latex \csc^{n}{(x)}$, onde n é qualquer expoente algébrico de uma cossecante não inversa, NÃO DEVE usar o fórmula do arco cossecante, pois nesses dados, 2 e qualquer expoente n são tratados como expoentes algébricos de uma cossecante não inversa.

Prova da derivada da função arco cossecante

Neste teste, usaremos principalmente os conceitos de triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras, as funções trigonométricas de cossecante e cotangente e álgebra básica. Temos um determinado triângulo retângulo $latex \Delta ABC$, mas vamos alterar as variáveis ​​para uma ilustração mais simples.

onde para cada unidade de um lado oposto ao ângulo y, existe um lado $latex \sqrt{x^2-1}$ adjacente ao ângulo y e uma hipotenusa x.

Usando esses componentes de um triângulo retângulo, podemos encontrar o ângulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente a função cossecante usando a hipotenusa x e seu lado oposto.

$latex \csc{(\theta)} = \frac{hip}{opo}$

$latex \csc{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \csc{(y)} = x$

Agora, podemos derivar implicitamente essa equação usando a derivada da função trigonométrica da cossecante para o lado esquerdo e a regra da potência para o lado direito. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{d}{dx} (\csc{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\csc{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (-\csc{(y)}\cot{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\csc{(y)}\cot{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc{(y)}\cot{(y)}}$

Obtendo a tangente do ângulo y do nosso triângulo retângulo dado, temos

$latex \cot{(y)} = \frac{adj}{opp}$

$latex \cot{(y)} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{1}$

$latex \cot{(y)} = \sqrt{x^2-1}$

Assim, podemos substituir $latex \csc{(y)}$ e $latex \cot{(y)}$ na diferenciação implícita de $latex \csc{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc{(y)}\cot{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x) \cdot \left(\sqrt{x^2-1}\right)}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

Agora temos

$latex \csc{(y)} = x$

e também

$latex hipotenusa= x$

Sabemos que uma hipotenusa negativa não pode existir. Portanto, $latex \csc{(y)}$ neste caso não pode ser negativo. É por isso que o multiplicando x no denominador da derivada da cossecante inversa deve ser considerado um valor absoluto.

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Portanto, limpando o ângulo y algebricamente e obtendo sua derivada, temos

$latex \csc{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\csc}$

$latex y = \csc^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \csc^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que agora é a fórmula derivada da cossecante inversa de x.

Agora, para a derivada de uma cossecante inversa de qualquer função diferente de x, podemos aplicar a derivada da fórmula da cossecante inversa junto com a fórmula da regra da cadeia. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \csc^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

onde $latex u$ é qualquer função diferente de x.

Gráfico de arco cossecante de x vs. a derivada da inversa da cossecante de x

Dada a função

$latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$

seu gráfico é

E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que tem o seguinte gráfico

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Analisando esses gráficos, pode-se ver que a função original $latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$ tem um domínio de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ ou todos os números reais, exceto $latex -1 < x < 1$

e existe dentro da imagem de

$latex \left[-\frac{\pi}{2},0\right) \cup \left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ ou $latex -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ exceto zero

enquanto a derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ tem um domínio de

$latex (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ ou todos os números reais, exceto $latex -1 \leq x \leq 1$

e existe dentro da imagem de

$latex (-\infty,0)$ ou $latex y < 0$

Exemplos

Os exemplos seguintes mostram como derivar as funções de cossecante inversa composta.

Prática de derivadas de funções de cossecante inversa composta

Prática de derivadas de cossecante inversa

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• Derivada do arco cos (cosseno inverso) – Demonstração e Gráficos
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