A derivada da função arco seno é igual a 1 sobre a raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado, 1/(√(1-x²)). Podemos provar esta derivada usando o teorema de Pitágoras e a álgebra.
Neste artigo, vamos aprender a derivar a função seno inversa. Veremos uma demonstração, uma comparação gráfica da função e sua derivada, e alguns exemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada do arco seno de x.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada do arco seno de x.
Evite confusão no uso de $latex \arcsin(x)$, $latex \sin^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\sin(x)}$, $latex \sin^{n}(x)$
É importante evitar possíveis confusões que poderíamos ter ao usar as denotações $latex \arcsin{(x)}$, $latex \sin^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\ sin{( x)}}$ e $latex \sin^{n}{(x)}$, já que trocar o significado desses símbolos pode levar a erros de derivação. Resumindo a definição desses símbolos, temos
$latex \arcsin{(x)} = \sin^{-1}{(x)}$
Ambos os símbolos $latex \arcsin$ e $latex \sin^{-1}$ podem ser usados ao calcular o seno inverso de uma variável ou outra função. $latex \arcsin$ é comumente usado como o símbolo verbal para a função seno inversa, enquanto $latex \sin^{-1}$ é usado como um símbolo matemático para a função seno inversa para uma função mais formal.
No caso da denotação $latex \sin^{-1}{(x)}$, às vezes pode confundir os alunos que $latex -1$ é um expoente algébrico de um seno não inverso, o que não é verdade. O $latex -1$ usado para o seno inverso representa que o seno é inverso e não aumentado para $latex -1$.
Portanto,
$latex \sin^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\sin{(x)}}$
E dado como $latex \sin^{2}{(x)}$ ou $latex \sin^{n}{(x)}$, onde n é qualquer expoente algébrico de um seno não inverso, você NÃO DEVE usar a fórmula do arco seno, pois nesses dados, tanto 2 quanto qualquer expoente n são tratados como expoentes algébricos de um seno não inverso.
Prova da derivada da função arco seno
Nesta demonstração, usaremos principalmente os conceitos de triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras, a função trigonométrica de seno e cosseno e álgebra básica. Como na figura anterior como exemplo de referência para um determinado triângulo retângulo, suponha que temos esse mesmo triângulo $latex \Delta ABC$, mas desta vez, vamos alterar as variáveis para uma ilustração mais simples.
onde para cada unidade hipotenusa, existe um lado $latex \sqrt{1-x^2}$ perpendicular ao lado x e um ângulo y oposto ao lado x e adjacente a $latex \sqrt{1-x ^2}$.
Usando esses componentes de um triângulo retângulo, podemos encontrar o ângulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente a função seno usando seu lado oposto x e a hipotenusa 1.
$latex \sin{(\theta)} = \frac{opp}{hyp}$
$latex \sin{(y)} = \frac{x}{1}$
$latex \sin{(y)} = x$
Agora, podemos derivar implicitamente essa equação usando a derivada da função trigonométrica do seno para o lado esquerdo e a regra da potência para o lado direito. Ao fazer isso, temos
$latex \frac{d}{dx} (\sin{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$
$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} (\cos{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$
Obtendo o cosseno do nosso triângulo retângulo dado, temos
$latex \cos{(y)} = \frac{adj}{hyp}$
$latex \cos{(y)} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$
$latex \cos{(y)} = \sqrt{1-x^2}$
Então podemos substituir $latex \cos{(y)}$ pela diferenciação implícita de $latex \sin{(y)} = x$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Portanto, limpando o ângulo y algebricamente e obtendo sua derivada, temos
$latex \sin{(y)} = x$
$latex y = \frac{x}{\sin}$
$latex y = \sin^{-1}{(x)}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1}{(x)} \right)$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
que agora é a fórmula derivada para o seno inverso de x.
Agora, para a derivada de um seno inverso de qualquer função diferente de x, podemos aplicar a fórmula derivada do seno inverso junto com a fórmula da regra da cadeia. Ao fazer isso, temos
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \sin^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
onde $latex u$ é qualquer função diferente de x.
Gráfico de arco seno de x vs. a derivada do arco seno de x
O gráfico da função
$latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$
é
E diferenciando $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
que tem o seguinte gráfico:
Comparando os dois gráficos em um, temos
Usando o gráfico, podemos ver que a função original $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$ tem um domínio de
$latex [-1,1]$ ou $latex -1 \leq x \leq 1$
e existe dentro da imagem de
$latex \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]$ ou $latex -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
enquanto a derivada $latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ tem um domínio de
$latex (-1,1)$ ou $latex -1 < x < 1$
e existe dentro da imagem de
$latex [1, \infty]$ ou $latex y \geq 1$
Exemplos
Os exemplos seguintes mostram como derivar uma função composta seno inversa.
EXEMPLO 1
Qual é a derivada de $latex f(x) = \sin^{-1}(7x)$?
Solução
Podemos derivar esta função usando a regra da cadeia considerando que temos um seno inverso de $latex 7x$.
Assim, podemos considerar $latex u=7x$ como a função interna e temos $latex f(u)=\sin^{-1}(u)$. Aplicando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \times 7$$
Por fim, substituímos $latex u=7x$ de volta na função e temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{7}{\sqrt{1-49x^2}}$$
EXEMPLO 2
Derivar a função $latex F(x) = \sin^{-1}(x^3+5 )$
Solução
Vamos usar a regra da cadeia. Assim, escrevemos a função seno inversa como $latex f (u) = \sin^{-1}(u)$, onde $latex u = x^3+5$.
Depois, encontramos a derivada da função externa $latex f(u)$:
$$\frac{d}{du} ( \sin^{-1}(u) ) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$$
Agora, encontramos a derivada da função interna $latex g(x)=u=x^3+5$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(x^3+5)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 3x^2$$
Multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna, temos:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 3x^2$$
Finalmente, substituímos $latex u$ de volta e simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^3+5)^2}} \cdot 3x^2$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{1-(x^6+10x^3+25)}$$
$$F'(x) = \frac{3x^2}{-x^6-10x^3-24}$$
EXEMPLO 3
Encontre a derivada de $latex f(x) = \sin^{-1}(\sqrt{x})$
Solução
A raiz quadrada é a função interna neste caso. Assim, consideramos que $latex u=\sqrt{x}$ é igual a $latex u=x^{\frac{1}{2}}$ e encontramos sua derivada:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Agora, escrevemos $latex f(u)=\tan(u)$ e usamos a regra da cadeia:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Substituindo $latex u=\sqrt{x}$ e simplificando, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$$
Prática de derivadas de função seno inversa composta
Veja também
Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas inversas? Veja estas páginas:
- Derivada do arco tan (tangente inversa) – Demonstração e Gráficos
- Derivada do arco cos (cosseno inverso) – Demonstração e Gráficos
- Derivada de arco sec (secante inversa) – Demonstração e Gráficos
- Derivada de arc csc (Cossecante Inverso) – Demonstração e Gráficos
- Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demonstração e gráficos
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
