Derivada do arco seno (seno inverso) – Demonstração e Gráficos

A derivada da função arco seno é igual a 1 sobre a raiz quadrada de 1 menos x ao quadrado, 1/(√(1-x²)). Podemos provar esta derivada usando o teorema de Pitágoras e a álgebra.

Neste artigo, vamos aprender a derivar a função seno inversa. Veremos uma demonstração, uma comparação gráfica da função e sua derivada, e alguns exemplos.

CÁLCULO
Derivada-de-arco-seno-seno-inversa

Relevante para

Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada do arco seno de x.

Ver prova

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Derivada-de-arco-seno-seno-inversa

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Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada do arco seno de x.

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Evite confusão no uso de $latex \arcsin(x)$, $latex \sin^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\sin(x)}$, $latex \sin^{n}(x)$

É importante evitar possíveis confusões que poderíamos ter ao usar as denotações $latex \arcsin{(x)}$, $latex \sin^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\ sin{( x)}}$ e $latex \sin^{n}{(x)}$, já que trocar o significado desses símbolos pode levar a erros de derivação. Resumindo a definição desses símbolos, temos

$latex \arcsin{(x)} = \sin^{-1}{(x)}$

Ambos os símbolos $latex \arcsin$ e $latex \sin^{-1}$ podem ser usados ​​ao calcular o seno inverso de uma variável ou outra função. $latex \arcsin$ é comumente usado como o símbolo verbal para a função seno inversa, enquanto $latex \sin^{-1}$ é usado como um símbolo matemático para a função seno inversa para uma função mais formal.

No caso da denotação $latex \sin^{-1}{(x)}$, às vezes pode confundir os alunos que $latex -1$ é um expoente algébrico de um seno não inverso, o que não é verdade. O $latex -1$ usado para o seno inverso representa que o seno é inverso e não aumentado para $latex -1$.

Portanto,

$latex \sin^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\sin{(x)}}$

E dado como $latex \sin^{2}{(x)}$ ou $latex \sin^{n}{(x)}$, onde n é qualquer expoente algébrico de um seno não inverso, você NÃO DEVE usar a fórmula do arco seno, pois nesses dados, tanto 2 quanto qualquer expoente n são tratados como expoentes algébricos de um seno não inverso.


Prova da derivada da função arco seno

Nesta demonstração, usaremos principalmente os conceitos de triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras, a função trigonométrica de seno e cosseno e álgebra básica. Como na figura anterior como exemplo de referência para um determinado triângulo retângulo, suponha que temos esse mesmo triângulo $latex \Delta ABC$, mas desta vez, vamos alterar as variáveis ​​para uma ilustração mais simples.

Triângulo reto-siny-fracsqrt1-x2hyp

onde para cada unidade hipotenusa, existe um lado $latex \sqrt{1-x^2}$ perpendicular ao lado x e um ângulo y oposto ao lado x e adjacente a $latex \sqrt{1-x ^2}$.

Usando esses componentes de um triângulo retângulo, podemos encontrar o ângulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente a função seno usando seu lado oposto x e a hipotenusa 1.

$latex \sin{(\theta)} = \frac{opp}{hyp}$

$latex \sin{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \sin{(y)} = x$

Agora, podemos derivar implicitamente essa equação usando a derivada da função trigonométrica do seno para o lado esquerdo e a regra da potência para o lado direito. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{d}{dx} (\sin{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (\cos{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$

Obtendo o cosseno do nosso triângulo retângulo dado, temos

$latex \cos{(y)} = \frac{adj}{hyp}$

$latex \cos{(y)} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$

$latex \cos{(y)} = \sqrt{1-x^2}$

Então podemos substituir $latex \cos{(y)}$ pela diferenciação implícita de $latex \sin{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Portanto, limpando o ângulo y algebricamente e obtendo sua derivada, temos

$latex \sin{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\sin}$

$latex y = \sin^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

que agora é a fórmula derivada para o seno inverso de x.

Agora, para a derivada de um seno inverso de qualquer função diferente de x, podemos aplicar a fórmula derivada do seno inverso junto com a fórmula da regra da cadeia. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \sin^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

onde $latex u$ é qualquer função diferente de x.


Gráfico de arco seno de x vs. a derivada do arco seno de x

O gráfico da função

$latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$

é

arcsinx-plot

E diferenciando $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

que tem o seguinte gráfico:

Gráfico-da-derivada-de-arsina-x

Comparando os dois gráficos em um, temos

Gráfico-de-arco-x-e-sua-derivada

Usando o gráfico, podemos ver que a função original $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$ tem um domínio de

$latex [-1,1]$ ou $latex -1 \leq x \leq 1$

e existe dentro da imagem de

$latex \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]$ ou $latex -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

enquanto a derivada $latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ tem um domínio de

$latex (-1,1)$ ou $latex -1 < x < 1$

e existe dentro da imagem de

$latex [1, \infty]$ ou $latex y \geq 1$


Exemplos

Os exemplos seguintes mostram como derivar uma função composta seno inversa.

EXEMPLO 1

Qual é a derivada de $latex f(x) = \sin^{-1}(7x)$?

Solução

EXEMPLO 2

Derivar a função $latex F(x) = \sin^{-1}(x^3+5 )$

Solução

EXEMPLO 3

Encontre a derivada de $latex f(x) = \sin^{-1}(\sqrt{x})$

Solução

Prática de derivadas de função seno inversa composta

Prática de derivadas de seno inverso
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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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