Derivada de arco sec (secante inversa) – Demonstração e Gráficos

Evite confusão no uso de arcsec(x), $latex \sec^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\sec(x)}$, $latex \sec^{n}(x)$

É importante não cairmos na possível confusão que podemos ter ao usar diferentes denotações $latex \text{arcsec}(x)$, $latex \sec^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1 }{\sec{(x)}}$ e $latex \sec^{n}{(x)}$, pois pode levar a erros de derivação.

Resumindo a definição desses símbolos, temos

$latex \text{arcsec}(x) = \sec^{-1}{(x)}$

Os símbolos $latex \text{arcsec}$ e $latex \sec^{-1}$ são usados ​​alternadamente ao calcular a secante inversa. $latex \text{arcsecant}$ é comumente usado como símbolo verbal para a função secante inversa, enquanto $latex \sec^{-1}$ é usado como símbolo matemático para a função secante inversa para uma configuração mais formal.

No entanto, no caso da denotação $latex \sec^{-1}{(x)}$, devemos considerar que $latex -1$ não é um expoente algébrico de uma secante. O $latex -1$ usado para a secante inversa representa que a secante é inversa e não elevada a $latex -1$.

Portanto,

$latex \sec^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\sec{(x)}}$

E dado como $latex \sec^{2}{(x)}$ ou $latex \sec^{n}{(x)}$, onde n é qualquer expoente algébrico de uma secante não inversa, você NÃO DEVE usar a fórmula da secante inversa, pois nesses dados, tanto 2 quanto qualquer expoente n são tratados como expoentes algébricos de uma secante não inversa.

Prova da derivada da função arco secante

Nesta prova, usaremos principalmente os conceitos de triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras, a função trigonométrica de secante e tangente e álgebra básica. Como na figura anterior como exemplo de referência para um determinado triângulo retângulo, suponha que temos esse mesmo triângulo $latex \Delta ABC$, mas desta vez, vamos alterar as variáveis ​​para uma ilustração mais simples.

onde para cada unidade de um lado adjacente ao ângulo y, existe um lado $latex \sqrt{x^2-1}$ oposto ao ângulo y e uma hipotenusa x.

Usando esses componentes de um triângulo retângulo, podemos encontrar o ângulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente a função secante usando a hipotenusa x e seu lado adjacente.

$latex \sec{(\theta)} = \frac{hyp}{adj}$

$latex \sec{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \sec{(y)} = x$

Agora, podemos derivar implicitamente essa equação usando a derivada trigonométrica da função secante para o lado esquerdo e a regra da potência para o lado direito. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{d}{dx} (\sec{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\sec{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (\sec{(y)}\tan{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec{(y)}\tan{(y)}}$

Obtendo a tangente do ângulo y do nosso triângulo retângulo dado, temos

$latex \tan{(y)} = \frac{opp}{adj}$

$latex \tan{(y)} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{1}$

$latex \tan{(y)} = \sqrt{x^2-1}$

Então podemos substituir $latex \sec{(y)}$ e $latex \tan{(y)}$ na diferenciação implícita de $latex \sec{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec{(y)}\tan{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x) \cdot \left(\sqrt{x^2-1}\right)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

Agora temos que

$latex \sec{(y)} = x$

e também

$latex hypothenuse = x$

Sabemos que uma hipotenusa negativa não pode existir. Portanto, $latex \sec{(y)}$ neste caso não pode ser negativo. É por isso que o multiplicando x no denominador da derivada da secante inversa deve ser considerado um valor absoluto.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Portanto, isolando o ângulo y algebricamente e obtendo sua derivada, temos

$latex \sec{(y)} = x$

$latex y = \sec^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sec^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que agora é a fórmula derivada da secante inversa de x.

Agora, para a derivada de uma secante inversa de qualquer função diferente de x, podemos aplicar a derivada da fórmula da secante inversa junto com a fórmula da regra da cadeia. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \sec^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

onde $latex u$ é qualquer função diferente de x.

Gráfico do arco secante de x vs. a derivada do arco secante de x

O gráfico da função

$latex f(x) = \sec^{-1}{(x)}$

é ilustrado como

E diferenciando $latex f(x) = \sec^{-1}{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que tem o seguinte gráfico

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Usando os gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \sec^{-1}{(x)}$ tem um domínio de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty )$ ou todos os números reais, exceto $latex -1 < x < 1$

e existe dentro da imagem de

$latex [0,\frac{\pi}{2}\big) \cup \big(\frac{\pi}{2},\pi]$ ou $latex 0 \leq y \leq \pi$ exceto $latex \frac{\pi}{2}$

enquanto a derivada $latex f'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ tem um domínio de

$latex (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ ou todos os números reais, exceto $latex -1 \leq x \leq 1$

e existe dentro da imagem de

$latex (0,\infty)$ ou $latex y > 0$

Exemplos

Nos exemplos a seguir, veremos como derivar as funções de secante inversa composta.

Prática de derivadas de funções secante inversa composta

Veja também

Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas inversas? Veja estas páginas:

• Derivada do arco tan (tangente inversa) – Demonstração e Gráficos
• Derivada do arco seno (seno inverso) – Demonstração e Gráficos
• Derivada do arco cos (cosseno inverso) – Demonstração e Gráficos
• Derivada de arc csc (Cossecante Inverso) – Demonstração e Gráficos
• Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demonstração e gráficos