Derivada do arco tan (tangente inversa) - Demonstração e Gráficos

A derivada da função tangente inversa é igual a 1/(1+x²). Esta derivada pode ser provada usando o teorema de Pitágoras e a álgebra.

Neste artigo, discutiremos como derivar a função arcotangente ou tangente inversa. Abordaremos uma prova, um gráfico de comparação de arctan e sua derivada e alguns exemplos.

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Relevante para…

Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada ou arco tan de x.

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Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada ou arco tan de x.

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Evite confusão no uso de $latex \arctan(x)$, $latex \tan^{-1}(x)$, $latex \frac{1}{\tan(x)}$, e $latex \tan^n(x)$

É importante não comprometermos as possíveis confusões que poderíamos ter usando diferentes denotações entre $latex \arctan{(x)}$, $latex \tan^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\tan{(x)}}$ e $latex \tan^{n}{(x)}$, pois trocar o significado desses símbolos pode levar a erros de derivação. Resumindo a definição desses símbolos, temos

$latex \arctan{(x)} = \tan^{-1}{(x)}$

Ambos os símbolos $latex \arctan$ e $latex \tan^{-1}$ podem ser usados alternadamente ao calcular a tangente inversa. $latex \arctan$ é comumente usado como o símbolo verbal para a função tangente inversa que é popularmente usada como denotação introdutória para iniciantes, enquanto $latex \tan^{-1}$ é usado como o símbolo matemático para a função tangente inversa para uma função mais formal.

No entanto, quando se trata da denotação $latex \tan^{-1}{(x)}$, às vezes pode confundir os alunos que $latex -1$ é um expoente algébrico de uma tangente, o que não é verdade. O $latex -1$ usado para a tangente inversa representa que a tangente é inversa e não elevada a $latex -1$.

Portanto,

$latex \tan^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\tan{(x)}}$

E dado como $latex \tan^{2}{(x)}$ ou $latex \tan^{n}{(x)}$, onde n é qualquer expoente algébrico de uma tangente não-inversa, você NÃO DEVE usar a fórmula da tangente inversa, pois nesses dados, tanto o 2 quanto qualquer expoente n são tratados como expoentes algébricos de uma tangente não inversa.

Prova da derivada da função arco tangente

Nesta demonstração, usaremos principalmente os conceitos de triângulo retângulo, a função trigonométrica da tangente e um pouco de álgebra básica. Como na figura anterior como exemplo de referência para um determinado triângulo retângulo, suponha que temos esse mesmo triângulo $latex \Delta ABC$, mas desta vez, vamos alterar as variáveis para uma ilustração mais simples.

onde para cada unidade de um lado, existe um lado x perpendicular ao lado unitário e um ângulo y oposto ao lado x e adjacente ao lado unitário.

Usando esses componentes de um triângulo retângulo, podemos encontrar o ângulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente a função tangente, pois temos os lados adjacentes e opostos do ângulo y.

$latex \tan{(\theta)} = \frac{opp}{adj}$

$latex \tan{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \tan{(y)} = x$

Agora, podemos derivar implicitamente essa equação usando a derivada da função trigonométrica da tangente para o lado esquerdo e a regra da potência para o lado direito. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{d}{dx} (\tan{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (\sec^{2}{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^{2}{(y)}}$

Lembramos que baseado em identidades trigonométricas, $latex \sec^{2}{(\theta)} = 1 + \tan^{2}{(\theta)}$. Aplicando isso, temos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^{2}{(y)}}$

Da nossa equação dada, lembramos que

$latex \tan{(y)} = x$

Assim, podemos substituir isso na equação derivada implicitamente.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^{2}{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\tan{(y)})^2}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (x)^2}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

Portanto, limpando o ângulo y algebricamente e obtendo sua derivada, temos

$latex \tan{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\tan}$

$latex y = \tan^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

que agora é a fórmula derivada da tangente inversa de x.

Agora, para a derivada de uma tangente inversa de qualquer função diferente de x, podemos aplicar a fórmula da derivada da tangente inversa junto com a fórmula da regra da cadeia. Ao fazer isso, temos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \tan^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

onde $latex u$ é qualquer função diferente de x.

Gráfico da tangente inversa x vs. a derivada da tangente inversa x

Dada a função

$latex f(x) = \tan^{-1}{(x)}$

seu gráfico é

E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \tan^{-1}{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

que é ilustrado graficamente como

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Analisando as diferenças dessas funções nesses gráficos, você pode ver que a função original $latex f(x) = \tan^{-1}{(x)}$ tem domínio de

$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais

e existe dentro da imagem de

$latex \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ o $latex -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$

enquanto a derivada $latex f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ tem domínio de

$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais

e existe dentro da imagem de

$latex (0, 1]$ o $latex 0 < y \leq 1$

Exemplos

A seguir estão alguns exemplos de como derivar as funções tangentes inversas compostas.

EXEMPLO 1

Encontre a derivada de $latex f(x) = \tan^{-1}(4x)$

Solução

Para derivar esta função, podemos usar a regra da cadeia, uma vez que a função tangente inversa é composta.

Se considerarmos $latex u=4x$ como a função interna, temos $latex f(u)=\tan^{-1}(u)$ e aplicando a regra da cadeia, temos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+u^2} \times 4$$

Em seguida, inserimos $latex u=4x$ de volta na função e temos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{1+(4x)^2}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{1+16x^2}$$

EXEMPLO 2

Derivar a função $latex F(x) = \tan^{-1}(x^2+2 )$

Solução

Podemos escrever a função tangente inversa como $latex f (u) = \tan^{-1}(u)$, onde $latex u = x^2+2$.

Então, para usar a regra da cadeia, começamos por encontrar a derivada da função externa $latex f(u)$:

$$\frac{d}{du} ( \tan^{-1}(u) ) = \frac{1}{1+u^2}$$

Depois, obtemos a derivada da função interna $latex g(x)=u=x^2+2$:

$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(x^2+2)$$

$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 2x$$

Pela regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna e temos:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot 2x$$

Finalmente, substituímos $latex u$ de volta e simplificamos:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(x^2+2)^2} \cdot 2x$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{1+x^4+4x^2+4}$$

$$F'(x) = \frac{2x}{x^4+4x^2+5}$$

EXEMPLO 3

Qual é a derivada de $latex f(x) = \tan^{-1}(\sqrt{x})$?

Solução

Para derivar esta função, consideramos a raiz quadrada como a função interna. Assim, escrevemos $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$, para encontrar a seguinte derivada:

$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Agora, vamos escrever $latex f(u)=\tan^{-1}(u)$ e aplicar a regra da cadeia:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+u^2} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Substituindo $latex u=\sqrt{x}$ e simplificando, temos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$$