As derivadas das funções trigonométricas são outras funções trigonométricas. Por exemplo, a derivada da função seno é igual à função cosseno e a derivada da função cosseno é igual à seno negativa.
A seguir, vamos aprender todas as fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas. Além disso, veremos alguns exercícios onde aplicaremos estas fórmulas.
Fórmulas das derivadas de funções trigonométricas
Derivada da função seno
A derivada da função seno padrão é:
$latex \sin^{\prime}(x)=\cos(x)$
Para derivar funções seno da forma $latex \sin(nx)$, usamos a regra da cadeia com $latex y=\sin(u)$ e $latex u=nx$.
Da mesma forma, para derivar funções da forma $latex \sin^n(x)=(\sin(x))^n$, usamos a regra da cadeia com $latex y=u^n$ e $latex u =\sin (x)$.
Derivado da função cosseno
A derivada da função cosseno padrão é:
$latex \cos^{\prime}(x)=-\sin(x)$
Se tivermos funções da forma $latex \cos(nx)$, podemos usar a regra da cadeia com $latex y=\cos(u)$ e $latex u=nx$.
Para funções da forma $latex \cos^n(x)=(\cos(x))^n$, usamos a regra da cadeia com $latex y=u^n$ e $latex u=\ cos(x) $.
Derivada da função tangente
A derivada da função tangente padrão é:
$latex \tan^{\prime}(x)=\sec^2(x)$
Para funções da forma $latex \tan(nx)$, usamos a regra da cadeia com $latex y=\tan(u)$ e $latex u=nx$.
Para funções da forma $latex \tan^n(x)=(\tan(x))^n$, usamos a regra da cadeia com $latex y=u^n$ e $latex u=\tan(x ) $.
Derivada da função cossecante
A derivada da função cossecante padrão é:
$latex \cosec^{\prime}(x)=-\cosec(x)\cot(x)$
Funções cossecantes na forma $latex \cosec(nx)$ podem ser derivadas com a regra da cadeia usando $latex y=\cosec(u)$ e $latex u=nx$.
Da mesma forma, funções da forma $latex \cosec^n(x)=(\cosec(x))^n$, são derivadas com a regra da cadeia com $latex y=u^n$ e $latex u=\cosec( x)$.
Derivada da função secante
A derivada da função secante padrão é:
$latex \sec^{\prime}(x)=\sec(x)\tan(x)$
Funções secantes na forma $latex \sec(nx)$ são derivadas usando a regra da cadeia com $latex y=\sec(u)$ e $latex u=nx$.
Da mesma forma, funções da forma $latex \sec^n(x)=(\sec(x))^n$ são derivadas usando a regra da cadeia com $latex y=u^n$ e $latex u =\sec(x )$.
Derivada da função cotangente
A derivada da função cotangente padrão é:
$latex \cot^{\prime}(x)=-\cosec^2(x)$
Para derivar funções cotangentes da forma $latex \cot(nx)$, aplicamos a regra da cadeia com $latex y=\cot(u)$ e $latex u=nx$.
Funções da forma $latex \cot^n(x)=(\sin(x))^n$, também são derivadas usando a regra da cadeia com $latex y=u^n$ e $latex u=\ cot(x )$
Exercícios resolvidos sobre derivadas de funções trigonométricas
EXERCÍCIO 1
Encontre a derivada de $latex y=\sin(5x)$.
Solução
Podemos usar a regra da cadeia com $latex u=5x$. Então, temos:
$latex y=\sin(u)~~$ e $latex ~~u=5x$
as suas derivadas são:
$latex \dfrac{dy}{du}=\cos(u)~~$ e $latex ~~\dfrac{du}{dx}=5$
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=\cos(u)\times 5$$
$$\dfrac{dy}{dx}=5\cos (5x)$$
Geralmente, escrevemos da seguinte forma para encontrar a resposta mais rapidamente:
$$\dfrac{dy}{dx}=\cos (5x) \times (5x)^{\prime}=5\cos(5x)$$
EXERCÍCIO 2
Encontre a derivada de $latex y=\cos^2(x)$.
Solução
Podemos começar por escrever $latex (\cos(x))^2$. Então, temos:
$latex y=u^2~~$ e $latex ~~u=\cos(x)$
As derivadas são:
$latex \dfrac{dy}{du}=2u~~$ e $latex ~~\dfrac{du}{dx}=-\sin(x)$
Usando a regra da cadeia, temos:
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=2u(-\sin(x))$$
$$\dfrac{dy}{dx}=-2\cos(x)\sin(x)$$
Geralmente, escrevemos da seguinte forma para encontrar a resposta mais rapidamente:
$$\dfrac{dy}{dx}=2\cos (x) \times (\cos(x))^{\prime}=-2\cos(x)\sin(x)$$
EXERCÍCIO 3
Encontre as derivadas das seguintes funções:
a) $latex y=\sin(x^2+2)~~~$ b) $latex y=\cos(\sqrt{x})$
Solução
a) Quando $latex y=\sin(x^2+2)$, temos:
$$\dfrac{dy}{dx}=\cos (x^2+2)\times (x^2+2)^{\prime}$$
$$\dfrac{dy}{dx}=2x\cos (x^2+2)$$
b) Quando $latex y=\cos(\sqrt{x})$, temos:
$$\dfrac{dy}{dx}=-\sin(\sqrt{x})\times (\sqrt{x})^{\prime}$$
$$\dfrac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}} \sin(\sqrt{x})$$
EXERCÍCIO 4
Quais são as derivadas das seguintes funções?
a) $latex y=\sin^4(x)~~~$ b) $latex y=\cos^3(2x)$
Solução
a) Quando $latex y=\sin^4(x)$, temos:
$$\dfrac{dy}{dx}=4\sin^3 (x)\times (\sin(x))^{\prime}$$
$$\dfrac{dy}{dx}=4\sin^3 (x)\cos (x)$$
b) Quando $latex y=\cos^3(2x)=(\cos(2x))^3$, temos:
$$\dfrac{dy}{dx}=3(\cos(2x))^2\times (\cos(2x))^{\prime}$$
$$=3(\cos(2x))^2\times (-2\sin(2x))^{\prime}$$
$$\dfrac{dy}{dx}=-6\cos^2(2x) \sin(2x)$$
EXERCÍCIO 5
Deriva as seguintes funções:
a) $latex y=\tan(3x)~~~$ b) $latex y=4\cosec^2(x)$
Solução
a) Quando $latex y=\tan(3x)$, temos:
$$\dfrac{dy}{dx}=\sec^2(3x)\times (3x)^{\prime}$$
$$\dfrac{dy}{dx}=3\sec^2 (3x)$$
b) Quando $latex y=4\cosec^2(x)$, temos:
$$\dfrac{dy}{dx}=8\cosec(x)\times (\cosec(x))^{\prime}$$
$$=8\cosec(x)(-\cosec(x) \cot(x))$$
$$\dfrac{dy}{dx}=-8\cosec^2(x) \cot(x)$$
Derivadas das funções trigonométricas – Exercícios para resolver
Qual é a derivada de $latex y=\cosec(x-1)$?
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
