Uma porcentagem é uma fração com denominador 100. Dizer 35% significa 35 em cada 100, ou $latex \frac{35}{100} = 0{,}35$. Todo problema de porcentagem tem as mesmas três peças: uma parte, um todo e uma taxa (a porcentagem). Você conhece duas e procura a terceira.
Aqui vemos a porcentagem de um número, que porcentagem um número é de outro, aumentos e descontos, dois descontos seguidos e a variação percentual. Três ferramentas interativas deixam você mexer nos números e ver as barras mudarem.
O que é uma porcentagem de verdade
Para transformar uma porcentagem em decimal, divida por 100: $latex 35\% = 0{,}35$. Para voltar, multiplique por 100: $latex 0{,}08 = 8\%$. Vale saber algumas de cabeça:
| Porcentagem | Fração | Decimal | Atalho |
|---|---|---|---|
| 50% | $latex \frac{1}{2}$ | 0,5 | dividir por 2 |
| 25% | $latex \frac{1}{4}$ | 0,25 | dividir por 4 |
| 20% | $latex \frac{1}{5}$ | 0,2 | dividir por 5 |
| 10% | $latex \frac{1}{10}$ | 0,1 | andar com a vírgula uma casa para a esquerda |
| 5% | $latex \frac{1}{20}$ | 0,05 | metade de 10% |
| 1% | $latex \frac{1}{100}$ | 0,01 | andar com a vírgula duas casas |
Com esses atalhos você monta qualquer outra. Para 15% de 80, pegue 10% (8) e some 5% (4): 12.
Os três problemas básicos de porcentagem
1. Calcular a porcentagem de um número
$$ \text{parte} = \frac{p}{100} \times \text{todo} $$
Exemplo. Quanto é 15% de 80?
$$ \frac{15}{100} \times 80 = 0{,}15 \times 80 = 12 $$
2. Calcular que porcentagem um número é de outro
$$ p = \frac{\text{parte}}{\text{todo}} \times 100 $$
Exemplo. Você acertou 18 questões de 24. Que porcentagem é essa?
$$ \frac{18}{24} \times 100 = 0{,}75 \times 100 = 75\% $$
3. Calcular o todo quando você conhece a parte
$$ \text{todo} = \frac{\text{parte}}{p/100} $$
Exemplo. 30 é 12% de qual número?
$$ \frac{30}{0{,}12} = 250 $$
Confira: 12% de 250 é 30. Fazer a conta ao contrário é o jeito mais rápido de pegar um descuido.
Aumentos e descontos
Somar p% a um preço significa pagar 100% + p% dele, ou seja, $latex 1 + \frac{p}{100}$ vezes o preço. Tirar p% significa pagar $latex 1 - \frac{p}{100}$ vezes o preço. Uma única multiplicação resolve tudo:
$$ \text{preço novo} = \text{preço} \times \left(1 \pm \frac{p}{100}\right) $$
Exemplo de desconto. Uma jaqueta custa R$ 80 e está com 25% de desconto. O fator é $latex 1 - 0{,}25 = 0{,}75$, então você paga $latex 80 \times 0{,}75 = 60$, ou seja, R$ 60.
Exemplo de aumento. A conta do restaurante é de R$ 64 e você deixa 15% de gorjeta. O fator é 1,15, então o total é $latex 64 \times 1{,}15 = 73{,}6$, isto é, R$ 73,60.
Exemplo para achar o preço original. Um jogo custa R$ 64 depois de 20% de desconto. O preço da promoção é 80% do original, então divida:
$$ \frac{64}{0{,}80} = 80 $$
O preço original era R$ 80. Se você somasse 20% ao preço da promoção, chegaria a R$ 76,80, o que está errado, porque os 20% foram calculados sobre o preço original e não sobre R$ 64.
Dois descontos seguidos
Uma loja tira 20% e depois mais 10% do preço novo. Muita gente soma e espera 30% de desconto. O segundo desconto incide sobre um preço que já é menor, então tira menos reais. Multiplique os fatores:
$$ 0{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72 $$
Você paga 72% do preço, então o desconto total é de 28%, e não de 30%.
Em geral, para dois descontos $latex d_1$ e $latex d_2$ escritos como decimais, o desconto total é $latex 1 - (1 - d_1)(1 - d_2)$. A ordem não importa, e a mesma ideia vale para qualquer sequência de aumentos e descontos. O controle abaixo mostra a distância entre o preço real e o preço que sairia “somando”.
Uma armadilha parecida: você aumenta um preço em 20% e depois reduz 20%. Os fatores são 1,20 e 0,80, e $latex 1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$. O preço termina 4% abaixo do inicial.
Variação percentual
A variação percentual compara um valor novo com um anterior. A base é sempre o valor anterior:
$$ \text{variação percentual} = \frac{\text{novo} - \text{anterior}}{\text{anterior}} \times 100 $$
Um resultado positivo é um aumento e um negativo é uma redução. Um valor que passa de 50 para 75 varia $latex \frac{75 - 50}{50} \times 100 = 50\%$. Voltar de 75 para 50 é $latex \frac{50 - 75}{75} \times 100 \approx -33{,}33\%$. A diferença é a mesma, de 25, mas o ponto de partida muda e por isso a porcentagem muda.
Erros comuns
- Somar porcentagens sucessivas. 20% de desconto e depois 10% de desconto dá 28%, não 30%.
- Desfazer uma porcentagem com a mesma porcentagem. Um aumento de 20% não é cancelado por uma queda de 20%, porque as duas incidem sobre bases diferentes.
- Dividir pelo número errado na variação percentual. Divida sempre pelo valor anterior, mesmo que o novo pareça a base natural.
- Confundir porcentagem com pontos percentuais. Uma taxa que sobe de 4% para 5% subiu 1 ponto e subiu 25%.
- Esquecer de passar para decimal. 35% de 240 é 0,35 × 240, e não 35 × 240.
Exercícios para praticar
Problema 1
Quanto é 35% de 240?
Resposta
$latex 0{,}35 \times 240 = 84$.
Resposta: 84.
Problema 2
Um tênis custa R$ 120. Ele tem 30% de desconto e depois somam-se 8% de imposto ao preço da promoção. Qual é o preço final?
Resposta
Desconto: $latex 120 \times 0{,}70 = 84$. Imposto: $latex 84 \times 1{,}08 = 90{,}72$.
Resposta: R$ 90,72.
Problema 3
Um celular custa R$ 450 depois de um desconto de 10%. Qual era o preço original?
Resposta
O preço da promoção é 90% do original: $latex \frac{450}{0{,}90} = 500$.
Resposta: R$ 500.
Problema 4
O aluguel sobe de R$ 800 para R$ 868. Qual é o percentual de aumento?
Resposta
$$ \frac{868 - 800}{800} \times 100 = \frac{68}{800} \times 100 = 8{,}5\% $$
Resposta: 8,5%.
Problema 5
Uma loja dá dois descontos seguidos, 25% e depois 20%. Qual é o desconto total?
Resposta
Fatores: $latex 0{,}75 \times 0{,}80 = 0{,}6$. Você paga 60% do preço.
Resposta: um desconto total de 40%.
Problema 6
Um preço sobe 20% e depois cai 20%. Ele volta ao original? Dê a variação líquida.
Resposta
$latex 1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$. O preço final é 96% do original.
Resposta: não. A variação líquida é de -4%.
Perguntas frequentes
Como calculo 20% de um número de cabeça?
Pegue 10% andando com a vírgula uma casa para a esquerda e depois dobre. Para 20% de 70, 10% é 7, então 20% é 14.
Como encontro o preço original depois de um desconto?
Divida o preço da promoção pela parte que você ainda paga. Com 25% de desconto você paga 75%, então preço original = preço da promoção ÷ 0,75.
Uma porcentagem pode ser maior que 100%?
Pode. 150% de um número é uma vez e meia esse número. Um valor que triplica aumentou 200%.
Qual é a diferença entre porcentagem e pontos percentuais?
A porcentagem compara uma variação com um valor inicial. Os pontos percentuais são a subtração simples entre duas porcentagens. De 4% para 5% há 1 ponto percentual, ou um aumento de 25%.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de porcentagem (desconto, aumento e variação)
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