A média simples trata todos os valores como igualmente importantes. Isso falha quando uns valem mais que outros: uma prova final que vale 40% da disciplina pesa mais que uma lista de exercícios de 10%, e uma matéria de 8 créditos mexe mais na sua média que uma de 2. A média ponderada dá a cada valor um peso que diz quanto ele conta.
A fórmula
Multiplique cada valor pelo seu peso, some os resultados e divida pela soma dos pesos:
$$ \bar{x}_p = \frac{p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n}{p_1 + p_2 + \cdots + p_n} $$
Os pesos podem ser porcentagens, créditos, horas, quilos ou qualquer número positivo. Se forem porcentagens que somam 100, a divisão por 100 já está embutida e basta somar os produtos.
Exemplo 1: nota de uma disciplina. As tarefas valem 10% da nota, os quizzes 20%, a prova 30% e o projeto 40%. Suas notas são 95, 80, 62 e 88.
$$ \frac{95(10) + 80(20) + 62(30) + 88(40)}{10 + 20 + 30 + 40} $$
$$ = \frac{7930}{100} = 79{,}3 $$
A média simples das quatro notas é 81,25, que exagera o resultado porque a prova, com nota baixa, tem muito peso.
A média ponderada é uma gangorra
Imagine uma barra marcada de 0 a 100. Coloque um círculo em cada nota, com um tamanho que corresponde ao seu peso. A média ponderada é o ponto onde a barra se equilibra sobre um apoio. Os círculos grandes puxam o ponto de equilíbrio para perto deles. Mude uma nota ou deslize um peso e depois marque a caixa para levar o apoio até a média simples e ver a barra pender.
Cada círculo é uma nota e o tamanho dele é o seu peso. A média ponderada é o ponto onde a barra se equilibra. Mude uma nota ou deslize um peso.
| Parte | Nota | Peso | Pontos |
|---|
Créditos e média geral
Os créditos são pesos. Num semestre você cursa Cálculo (8 créditos, nota 8,5), Física (6 créditos, 9), História (4 créditos, 7) e Inglês (2 créditos, 10).
$$ \text{média} = \frac{8(8{,}5) + 6(9) + 4(7) + 2(10)}{8 + 6 + 4 + 2} $$
$$ = \frac{170}{20} = 8{,}5 $$
A média simples das quatro notas é 8,63. A média com créditos é menor porque História e Cálculo, que juntas somam mais créditos, têm as notas mais baixas.
Quanto preciso tirar na prova final?
Suponha que seu trabalho já corrigido tenha média c e que a final valha uma fração w da disciplina. O resto do trabalho vale $latex 1 - w$. Para terminar com uma nota-meta T:
$$ c(1 - w) + x\,w = T \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{T - c(1 - w)}{w} $$
Exemplo 2. Você tem média 82 em tudo menos na final, que vale 30%. Quer 85 na disciplina.
$$ x = \frac{85 - 82(0{,}70)}{0{,}30} = \frac{85 - 57{,}4}{0{,}30} = 92 $$
Você precisa de 92 na final. Agora teste uma meta de 95: $latex x = \frac{95 - 57{,}4}{0{,}30} \approx 125{,}33$. Isso passa de 100, então 95 está fora de alcance. Mesmo uma final perfeita dá $latex 57{,}4 + 30 = 87{,}4$.
Exemplo 3: quando você tem as partes e não uma média. Tarefas (15%) 90, prova (35%) 76 e projeto (20%) 84, com uma final que vale 30%. Pontos já conquistados:
$$ 0{,}15(90) + 0{,}35(76) + 0{,}20(84) = 56{,}9 $$
Para tirar 80:
$$ x = \frac{80 - 56{,}9}{0{,}30} = 77 $$
Você precisa de 77 na final. Subtrair os pontos que você já tem e dividir pelo peso da final funciona sempre.
Médias ponderadas fora da escola
Sempre que se combinam quantidades de tamanhos diferentes, a média é ponderada. Uma loja mistura 3 kg de café a R$ 10 o quilo com 2 kg a R$ 15 o quilo. O preço da mistura não é R$ 12,50, a média simples de 10 e 15. É
$$ \frac{3(10) + 2(15)}{3 + 2} = \frac{60}{5} = 12 $$
reais por quilo, mais perto de 10 porque há mais café barato. A mesma ideia dá o custo médio de ações compradas a preços diferentes e a concentração média de uma mistura.
Erros comuns
- Usar a média simples. Somar as notas e dividir pela quantidade ignora os pesos. (A média simples serve quando todos os valores contam igual: veja média, mediana e moda.)
- Esquecer de dividir pela soma dos pesos. O numerador sozinho não é uma média, a menos que os pesos já somem 1.
- Misturar porcentagens com decimais. Use 30 com um total de 100, ou 0,30 com um total de 1, mas não 30 com um total de 1.
- Dividir pelo peso errado na final. Para achar a nota da final, divida só pelo peso da final, depois de subtrair os pontos já conquistados.
- Tirar a média de porcentagens de totais diferentes. Um 90% num quiz de 10 pontos e um 60% numa prova de 100 não contribuem igual, a menos que a disciplina diga isso.
Exercícios para praticar
Problema 1
Três provas valem 70, 85 e 90, com pesos de 25%, 35% e 40%. Qual é a média ponderada?
Resposta
$$ 0{,}25(70) + 0{,}35(85) + 0{,}40(90) = 17{,}5 + 29{,}75 + 36 = 83{,}25 $$
Resposta: 83,25.
Problema 2
Uma aluna cursa uma matéria de 3 créditos com 90, uma de 4 créditos com 80 e uma de 1 crédito com 100. Qual é a média ponderada?
Resposta
$$ \frac{3(90) + 4(80) + 1(100)}{3 + 4 + 1} = \frac{690}{8} = 86{,}25 $$
Resposta: 86,25.
Problema 3
Sua média antes da final é 78. A final vale 40%. Que nota você precisa para fechar 80 na disciplina?
Resposta
$$ x = \frac{80 - 78(0{,}60)}{0{,}40} = \frac{80 - 46{,}8}{0{,}40} = 83 $$
Resposta: 83.
Problema 4
Sua média antes da final é 70 e a final vale 20%. Ainda dá para fechar com 85?
Resposta
$$ x = \frac{85 - 70(0{,}80)}{0{,}20} = \frac{85 - 56}{0{,}20} = 145 $$
Resposta: não. Seriam necessários 145 na final. Uma final perfeita dá no máximo $latex 56 + 20 = 76$.
Problema 5
Uma padaria usa 6 kg de farinha a R$ 4,50 o quilo e 4 kg a R$ 7,25 o quilo. Qual é o preço médio por quilo?
Resposta
$$ \frac{6(4{,}50) + 4(7{,}25)}{10} = \frac{27 + 29}{10} = 5{,}6 $$
Resposta: R$ 5,6 por quilo.
Problema 6
As notas 60, 80 e 100 têm pesos 2, 3 e 5 (não são porcentagens). Qual é a média ponderada?
Resposta
$$ \frac{2(60) + 3(80) + 5(100)}{2 + 3 + 5} = \frac{860}{10} = 86 $$
Resposta: 86.
Perguntas frequentes
Os pesos precisam somar 100?
Não. Qualquer peso positivo funciona, porque a fórmula divide pela soma deles. Pesos 2, 3 e 5 se comportam como 20%, 30% e 50%.
Quando a média ponderada é igual à média simples?
Quando todos os pesos são iguais. Eles se cancelam e sobra a média comum.
A média ponderada pode ser maior que a maior nota?
Não. Ela sempre fica entre o menor e o maior valor, porque é uma mistura deles.
Como incluo um trabalho que não entreguei?
Um zero conta como qualquer outra nota, com o seu peso. Se a disciplina descarta o trabalho, retire-o e divida apenas pelos pesos restantes.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de média ponderada e nota necessária na final
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- Calculadora de porcentagem
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