A média, a mediana e a moda tentam responder à mesma pergunta: qual é um valor típico destes dados? Elas podem dar respostas bem diferentes, e escolher a errada pode enganar. Aqui você vê como cada uma é calculada, a que cada uma é sensível e como escolher o resumo certo para os seus dados.
Como cada uma é calculada
Média
A média (a média aritmética de sempre) soma todos os valores e divide pela quantidade deles:
$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} $$
Mediana
Coloque os valores em ordem crescente. A mediana é o valor do meio. Se a quantidade de valores é par, ela é a média dos dois valores centrais. Metade dos dados fica na mediana ou abaixo dela, e a outra metade na mediana ou acima.
Moda
A moda é o valor que mais se repete. Um conjunto de dados pode ter uma moda, várias, ou nenhuma quando nenhum valor se repete.
Exemplo 1. Sete tempos de deslocamento em minutos: 12, 15, 11, 15, 18, 15, 14. Em ordem: 11, 12, 14, 15, 15, 15, 18.
$$ \text{média} = \frac{100}{7} \approx 14{,}29 $$
$$ \text{mediana} = 15 $$
$$ \text{moda} = 15 $$
A mediana é o quarto de sete valores ordenados, e o 15 aparece três vezes, então é a moda.
Exemplo 2. Seis valores: 4, 8, 6, 5, 3, 7. Em ordem: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Com seis valores a mediana é a média do terceiro e do quarto: $latex \frac{5 + 6}{2} = 5{,}5$. A média é $latex \frac{33}{6} = 5{,}5$. Nenhum valor se repete, então não há moda.
Mexa nos dados e veja os resumos
No gráfico, cada ponto é um dado. A linha tracejada é a mediana, o triângulo laranja é a média (o ponto onde os dados se equilibrariam numa régua) e os pontos laranja marcam a moda. Arraste um ponto e depois aperte algumas vezes o botão do valor discrepante.
Arraste um ponto para os lados, clique no gráfico para adicionar um, ou foque um ponto e use as setas do teclado. Os pontos laranja são a moda. Experimente o botão do valor discrepante.
Com os dados iniciais a média é 4,3 e a mediana é 4. Ao adicionar um valor 20, a média sobe para 5,73 e a mediana fica em 4. A média reage a todos os valores, inclusive aos extremos. A mediana só se importa com a ordem.
Qual delas usar?
| Situação | Melhor resumo | Por quê |
|---|---|---|
| Dados mais ou menos simétricos, sem valores extremos | Média | Usa todos os valores e coincide com a mediana |
| Dados assimétricos: salários, preços de imóveis, tempos de espera | Mediana | Poucos valores enormes não a afastam do caso típico |
| Categorias ou contagens: número do calçado, cor favorita, produto mais vendido | Moda | Não dá para tirar a média de cores, mas dá para achar a mais comum |
| Você precisa de um total: custo de n peças, horas totais | Média | Total = média × n, e só a média mantém essa relação |
Numa distribuição com cauda à direita, os valores altos puxam a média para além da mediana, e a moda fica no pico. A ordem é moda, mediana e média. Com cauda à esquerda, inverte.
Exemplo 3: salários. Uma empresa pequena paga a seis pessoas R$ 2.800, R$ 3.000, R$ 3.000, R$ 3.200, R$ 3.400 e R$ 12.000 por mês, o último sendo o do dono.
$$ \text{média} = \frac{27.400}{6} \approx 4.566{,}67 $$
$$ \text{mediana} = \frac{3.000 + 3.200}{2} = 3.100 $$
$$ \text{moda} = 3.000 $$
A média de R$ 4.566,67 é maior que o salário de 5 das 6 pessoas, então não descreve ninguém. A mediana de R$ 3.100 retrata bem o salário típico. Tirando o dono, a média cai para R$ 3.080, quase a mediana (R$ 3.000): um único valor causou a diferença.
Erros comuns
- Não ordenar antes de achar a mediana. A mediana de 7, 3, 9 é 7, o do meio depois de ordenar (3, 7, 9), e não o do meio da lista como foi escrita.
- Escrever 0 quando não há moda. Se nenhum valor se repete, não há moda. O zero é um número que pode ou não estar nos dados.
- Achar que a moda tem de ser única. Dois valores empatados como os mais frequentes dão duas modas (dados bimodais).
- Tirar a média das médias. A média de duas médias de grupo só coincide com a média geral se os grupos tiverem o mesmo tamanho. Caso contrário, use uma média ponderada.
- Usar a média com dados assimétricos. Informar o salário médio de uma empresa com um único ganho muito alto exagera o que a maioria recebe.
Exercícios para praticar
Problema 1
Encontre a média, a mediana e a moda de 6, 9, 3, 9, 8, 5, 9.
Resposta
Em ordem: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 9. Média: $latex \frac{49}{7} = 7$. O valor central é a mediana: 8. O 9 aparece três vezes.
Resposta: média 7, mediana 8, moda 9.
Problema 2
Encontre a mediana de 12, 7, 15, 9.
Resposta
Em ordem: 7, 9, 12, 15. São quatro valores, então tire a média dos dois centrais: $latex \frac{9 + 12}{2} = 10{,}5$.
Resposta: 10,5.
Problema 3
Cinco casas de um bairro foram vendidas por (em milhares de reais) 210, 225, 230, 240, 1250. Qual resume melhor um preço típico, a média ou a mediana?
Resposta
Média: $latex \frac{2.155}{5} = 431$. Mediana: 230.
Resposta: a mediana (230). Uma casa cara puxa a média para 431, mais que quatro das cinco vendas.
Problema 4
A média de cinco números é 12. Quatro deles são 10, 11, 13 e 15. Qual é o quinto?
Resposta
Os cinco números somam $latex 5 \times 12 = 60$. Os quatro conhecidos somam $latex 10 + 11 + 13 + 15 = 49$.
Resposta: $latex 60 - 49 = 11$, então o quinto número é 11.
Problema 5
Encontre a moda ou as modas, a média e a mediana de 1, 2, 2, 3, 3, 4.
Resposta
O 2 e o 3 aparecem duas vezes, então há duas modas. Média: $latex \frac{15}{6} = 2{,}5$. Mediana: $latex \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5$.
Resposta: modas 2, 3, média 2,5, mediana 2,5.
Problema 6
Compare a média e a mediana de 4, 5, 6, 7, 8 antes e depois de adicionar o valor 100.
Resposta
Antes: média 6, mediana 6. Depois (4, 5, 6, 7, 8, 100): média $latex \frac{130}{6} \approx 21{,}67$, mediana $latex \frac{6 + 7}{2} = 6{,}5$.
Resposta: a média salta de 6 para 21,67, enquanto a mediana só vai de 6 para 6,5.
Perguntas frequentes
A média, a mediana e a moda podem ser o mesmo número?
Podem. Num conjunto perfeitamente simétrico e com um só pico, como 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, as três valem 4.
Qual é a melhor para renda?
A mediana. Poucas rendas muito altas puxam a média para cima, e a mediana mostra o que uma pessoa típica ganha.
A média pode ser um valor que não está nos dados?
Pode, e acontece com frequência. A média de 1 e 2 é 1,5. A mediana de um conjunto com quantidade par de dados também pode ficar entre dois valores. A moda, ao contrário, é sempre um dos dados.
Preciso das três?
Nem sempre, mas olhar duas ou três serve de checagem rápida. Se a média e a mediana diferem muito, os dados são assimétricos ou têm valores discrepantes.
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