A regra de três serve para encontrar um quarto número quando você conhece três e as grandezas estão ligadas por uma proporção. Se 3 quilos de maçã custam R$ 12, quanto custam 5 quilos? Três dados conhecidos e uma incógnita. É a ferramenta por trás de receitas, câmbio, problemas de velocidade e plantas em escala.
Há três versões: simples direta, simples inversa e composta. A única decisão de fundo é se as grandezas crescem juntas ou em sentidos opostos.
Regra de três direta
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao dobrar uma, a outra também dobra. A razão entre elas não muda. Coloque o par conhecido numa linha e o valor novo na segunda, com a incógnita x embaixo da sua parceira:
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{b \times c}{a} $$
Exemplo 1. 3 quilos de maçã custam R$ 12. Quanto custam 5 quilos? Mais maçãs, mais dinheiro: direta.
$$ x = \frac{12 \times 5}{3} = 20 $$
Cinco quilos custam R$ 20. Outra forma de ver: o peso foi multiplicado por $latex \frac{5}{3}$, então o preço também.
Exemplo 2. Uma receita para 4 pessoas usa 300 g de arroz. Para 10 pessoas: $latex x = \frac{300 \times 10}{4} = 750$ g.
Regra de três inversa
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao dobrar uma, a outra cai pela metade. O que não muda é o produto delas. Agora o valor novo divide a resposta, então a multiplicação cruzada muda:
$$ a \times b = c \times x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{a \times b}{c} $$
Exemplo 3. 4 operários terminam um serviço em 6 dias. Quanto tempo levarão 8 operários? Mais operários, menos dias: inversa.
$$ x = \frac{4 \times 6}{8} = 3 $$
Exemplo 4. Um carro a 90 km/h leva 2 horas numa viagem. A 60 km/h: $latex x = \frac{90 \times 2}{60} = 3$ horas. Menos velocidade, mais tempo.
Experimente: o quarto número aparece enquanto você digita
Escolha direta ou inversa e mude os três números. O gráfico mostra a relação: uma reta pela origem nos problemas diretos e uma curva que desce nos inversos. O par conhecido é azul e a sua resposta é laranja.
Como distinguir direta de inversa
Faça uma única pergunta: se a primeira grandeza aumenta, a segunda aumenta ou diminui?
| Se mais de A significa... | A relação é | Fórmula | Exemplos típicos |
|---|---|---|---|
| mais de B | Direta | $latex x = \frac{b \times c}{a}$ | preço e peso; pagamento e horas |
| menos de B | Inversa | $latex x = \frac{a \times b}{c}$ | operários e dias; velocidade e tempo |
Confira o resultado com bom senso. Num problema direto a resposta deve crescer se o valor novo for maior que o anterior. Num inverso, deve diminuir.
Regra de três composta
Quando a incógnita depende de duas ou mais grandezas, trate uma de cada vez. Para cada grandeza, decida se ela move a incógnita no mesmo sentido (direta) ou ao contrário (inversa), transforme-a numa razão e multiplique o valor inicial por todas as razões. Uma grandeza direta dá a razão novo sobre anterior. Uma inversa dá anterior sobre novo.
Exemplo 5. 6 operários que trabalham 8 horas por dia constroem 120 m de muro em 10 dias. Quantos dias levarão 8 operários que trabalham 6 horas por dia para construir 180 m?
- Mais operários significa menos dias (inversa): multiplique por 6/8.
- Menos horas por dia significa mais dias (inversa): multiplique por 8/6.
- Mais muro significa mais dias (direta): multiplique por 180/120.
$$ x = 10 \times \frac{6}{8} \times \frac{8}{6} \times \frac{180}{120} = 15 \text{ dias} $$
Aqui as duas primeiras razões se cancelam, e faz sentido: 8 operários durante 6 horas rendem o mesmo por dia que 6 operários durante 8 horas. Só o muro extra soma tempo, por um fator de 1,5.
Cada linha é uma grandeza que muda: o nome, o valor anterior, o valor novo e se ela move a incógnita no mesmo sentido (direta) ou ao contrário (inversa).
O método da redução à unidade e as porcentagens
A regra de três é um atalho do método da redução à unidade: achar o valor de uma unidade e depois escalar. No Exemplo 1, 1 quilo custa $latex 12 \div 3 = 4$, então 5 quilos custam $latex 5 \times 4 = 20$. Use o que lhe der mais segurança.
As porcentagens também são proporções diretas. Se 250 é 100%, que porcentagem é 40? $latex x = \frac{40 \times 100}{250} = 16\%$. Veja como calcular porcentagem para mais.
Erros comuns
- Tratar um problema inverso como direto. Dobrar os operários não dobra os dias. Faça primeiro a pergunta de aumenta ou diminui.
- Misturar unidades. Se a primeira linha está em minutos, a segunda também. Passe as horas para minutos antes de calcular.
- Supor que tudo é proporcional. Se uma camiseta seca em 2 horas no varal, 5 camisetas penduradas lado a lado também levam cerca de 2 horas, e não 10. Tempo de cozimento, idade e preços com desconto por volume também não são proporcionais.
- Colocar os números nos lugares errados. A incógnita fica com o valor do mesmo tipo que a sua parceira conhecida. Identifique cada coluna antes de multiplicar.
- Esquecer uma grandeza num problema composto. Toda grandeza que muda precisa da sua própria razão.
Exercícios para praticar
Problema 1
7 cadernos custam R$ 42. Quanto custam 12 cadernos?
Resposta
Direta: $latex x = \frac{42 \times 12}{7} = 72$.
Resposta: R$ 72.
Problema 2
2 canos enchem uma piscina em 9 horas. Quanto tempo levarão 6 canos?
Resposta
Mais canos, menos tempo: inversa. $latex x = \frac{2 \times 9}{6} = 3$.
Resposta: 3 horas.
Problema 3
Uma viagem leva 5 horas a 80 km/h. Quanto leva a 100 km/h?
Resposta
Mais velocidade, menos tempo: inversa. $latex x = \frac{80 \times 5}{100} = 4$.
Resposta: 4 horas.
Problema 4
15 operários que trabalham 8 horas por dia terminam uma obra em 12 dias. Quantos dias levarão 20 operários que trabalham 5 horas por dia?
Resposta
Mais operários: inversa, $latex \frac{15}{20}$. Menos horas por dia: inversa, $latex \frac{8}{5}$.
$$ x = 12 \times \frac{15}{20} \times \frac{8}{5} = 14{,}4 $$
Resposta: 14,4 dias.
Problema 5
Uma impressora imprime 240 páginas em 8 minutos. Quanto tempo levam 2 impressoras para imprimir 600 páginas?
Resposta
Mais páginas: direta, $latex \frac{600}{240}$. Mais impressoras: inversa, $latex \frac{1}{2}$.
$$ x = 8 \times \frac{600}{240} \times \frac{1}{2} = 10 $$
Resposta: 10 minutos.
Problema 6
Com 250 g de farinha fazem-se 15 biscoitos. Quantos biscoitos saem com 1 kg de farinha?
Resposta
Passe 1 kg para 1000 g e use a direta: $latex x = \frac{15 \times 1000}{250} = 60$.
Resposta: 60 biscoitos.
Perguntas frequentes
A regra de três é o mesmo que uma proporção?
É um jeito rápido de resolvê-la. Escrever a/b = c/x e multiplicar em cruz dá o mesmo resultado da regra de três.
Como sei se um problema é direto ou inverso?
Pergunte se mais da primeira grandeza dá mais ou menos da segunda. Mais dá direta. Menos dá inversa.
Dá para usar a regra de três com porcentagens?
Dá. Considere o todo como 100% e resolva para a parte, ou o contrário. Porcentagens são proporções diretas.
A regra composta precisa de uma tabela?
Uma tabela ajuda, mas ela só lista cada grandeza com o valor anterior e o novo, e marca se é direta ou inversa. Depois é só multiplicar as razões.
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