A proporcionalidade nos permite relacionar duas ou mais quantidades. No caso da proporcionalidade composta, estamos relacionando com três quantidades ao mesmo tempo. A proporcionalidade composta é representada como y∝xz. Se usarmos a constante k, podemos formar a equação y = kxz.
A seguir, veremos um breve resumo sobre como resolver exercícios de proporcionalidade composta. Além disso, exploraremos vários exercícios resolvidos para entender a aplicação do processo.
Resumo de proporcionalidade composta
Podemos resolver problemas de proporcionalidade composta seguindo estes passos:
Passo 1: Escrevemos a equação correta. Os problemas de proporcionalidade composta são resolvidos usando a equação y = kxz. As variáveis y, x e z podem ser alteradas para usar variáveis que são mais relevantes para determinados problemas de palavras.
Além disso, devemos analisar o problema cuidadosamente para determinar se precisamos modificar a equação de proporcionalidade composta incluindo quadrados, cubos ou raízes quadradas.
Passo 2: Usamos as informações fornecidas no problema para encontrar o valor de k, chamado de constante de proporcionalidade.
Passo 3: Reescrevemos a equação do passo 1 e substituímos o valor de k encontrado no passo 2.
Passo 4: Usamos a equação encontrada no passo 3 e o restante das informações fornecidas no problema para encontrar a resposta para o problema.
Exercícios de proporcionalidade composta resolvidos
Use os seguintes exercícios de proporcionalidade composta para estudar o uso dos passos acima em detalhes. Cada um dos exercícios possui uma solução detalhada que facilita o entendimento.
EXERCÍCIO 1
Se y variar junto com x e z, e se tivermos $latex y=24$ quando $latex x=18$ e $latex z=6$, encontre z quando $latex y=12$ e $latex x=30$.
Solução
Passo 1: Escrevemos a equação correta:
$latex y=kxz$
Passo 2: Usamos as informações fornecidas no problema para encontrar o valor de k. Neste caso, temos $latex y=24$, $latex x=18$ e $latex z=6$:
$latex 24=k(18)(6)$
$latex 24=108k$
$latex \frac{2}{9}=k$
Passo 3: Reescrevemos a equação do passo 1 e substituímos $latex k=\frac{2}{9}$:
$latex y=\frac{2}{9}xz$
Passo 4: Usamos a equação encontrada no passo 3 e substituímos $latex y=12$ e $latex x=30$:
$latex 12=\frac{2}{9}(30)z$
$latex 12=\frac{20}{3}z$
$latex 36=20z$
$latex \frac{9}{5}=z$
EXERCÍCIO 2
Se a varia junto com b e c ao quadrado e temos $latex a=225$ quando $latex b=4$ e $latex c=3$, encontre o valor de a quando $latex b=6$ e $latex c=8$.
Solução
Passo 1: Escrevemos a equação correta. Neste caso, usamos as variáveis a, b e c e aumentamos para c ao quadrado:
$latex a=kb{{c}^2}$
Passo 2: Usamos as informações fornecidas no problema para encontrar o valor de k. Neste caso, temos $latex a=225$, $latex b=4$ e $latex c=3$:
$latex 225=k(4)({{3}^2})$
$latex 225=36k$
$latex \frac{25}{4}=k$
Passo 3: Reescrevemos a equação do passo 1 e substituímos $latex k=\frac{25}{4}$:
$latex a=\frac{25}{4}b{{c}^2}$
Passo 4: Usamos a equação encontrada no passo 3 e substituímos$latex b=6$ e $latex c=8$:
$latex a=\frac{25}{4}(6)({{8}^2})$
$latex a=2400$
EXERCÍCIO 3
Se $latex m$ varia junto com $latex n$ cubo e $latex o$ e se temos $latex m=24$ quando $latex n=8$ e $latex o=6$, encontre o valor de m quando $latex n=4$ e $latex o=12$.
Solução
Passo 1: Escrevemos a equação correta. Neste caso, temos as variáveis m, n e o e temos a variável n ao cubo.
$latex m=k{{n}^3}o$
Passo 2: Usamos as informações fornecidas no problema para encontrar o valor de k. Neste caso, temos $latex m=24$, $latex n=8$ e $latex o=6$:
$latex 24=k(8)(6)$
$latex 24=48k$
$latex \frac{1}{2}=k$
Passo 3: Reescrevemos a equação do passo 1 e substituímos $latex k=\frac{1}{2}$:
$latex m=\frac{1}{2}{{n}^3}o$
Passo 4: Usamos a equação encontrada no passo 3 e substituímos $latex n=4$ e $latex o=12$:
$latex m=\frac{1}{2}({{4}^3})(12)$
$latex m=384$
EXERCÍCIO 4
O volume de um cone varia com sua altura e o quadrado de seu raio. Um cone com raio de 4 metros e altura de 9 metros tem um volume de 48π metros cúbicos. Encontre o volume de um cubo que tem um raio de 8 metros e uma altura de 6 metros.
Solução
Passo 1: Escrevemos a equação correta. Neste caso, vamos usar as variáveis v, h e r para representar volume, altura e raio, respectivamente:
$latex v=kh{{r}^2}$
Passo 2: Usamos as informações fornecidas no problema para encontrar o valor de k. Neste caso, temos $latex v=48\pi$, $latex h=9$ e $latex r=4$:
$latex 48\pi=k(9)({{4}^2})$
$latex 48\pi=144k$
$latex \frac{\pi}{3}=k$
Passo 3: Reescrevemos a equação do passo 1 e substituímos $latex k=\frac{\pi}{3}$:
$latex v=\frac{\pi}{3}h{{r}^2}$
Passo 4: Usamos a equação encontrada no passo 3 e substituímos $latex r=8$ e $latex h=6$:
$latex v=\frac{\pi}{3}(6)({{8}^2})$
$latex v=128\pi$
EXERCÍCIO 5
A energia cinética varia em conjunto com a massa e o quadrado da velocidade. Uma massa de 6 quilos e uma velocidade de 10 metros por segundo tem uma energia cinética de 300 Joules.
Encontre a energia cinética para uma massa de 5 quilogramas e uma velocidade de 6 metros por segundo.
Solução
Passo 1: Escrevemos a equação correta. Aqui, vamos usar as variáveis $latex e, ~m$ e $latex v$ para representar energia, massa e velocidade, respectivamente:
$latex e=km{{v}^2}$
Passo 2: Usamos as informações fornecidas no problema para encontrar o valor de k. Neste caso, temos $latex e=300$, $latex m=6$ e $latex v=10$:
$latex 300=k(6)(10)$
$latex 300=600k$
$latex \frac{1}{2}=k$
Passo 3: Reescrevemos a equação do passo 1 e substituímos $latex k=\frac{1}{2}$:
$latex e=\frac{1}{2}m{{v}^2}$
Passo 4: Usamos a equação encontrada no passo 3 e substituímos $latex m=5$ e $latex v=6$:
$latex e=\frac{1}{2}(5)({{6}^2})$
$latex e=90$
Exercícios de proporcionalidade composta para resolver
Use os exercícios a seguir para testar suas habilidades e compreensão da proporcionalidade composta. Selecione uma resposta e verifique se você escolheu a resposta correta. Veja os exercícios resolvidos acima se você tiver problemas com este tópico.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
