Proporcionalidade é uma forma de relacionar duas quantidades. No caso da proporcionalidade inversa, a relação é tal que, se aumentarmos uma quantidade, a outra diminui e vice-versa.
A seguir, veremos um breve resumo da proporcionalidade inversa e, em seguida, examinaremos os exercícios resolvidos e compreenderemos o uso da proporcionalidade inversa com problemas reais.
Resumo de proporcionalidade inversa
Ao contrário da proporcionalidade direta, onde uma quantidade varia diretamente conforme varia outra quantidade, na proporcionalidade inversa, um aumento em uma variável causa uma diminuição na outra variável e vice-versa. Se a variável a for inversamente proporcional à variável b, isso pode ser representado com a fórmula:
$latex a \propto \frac{1}{b}$
Se mudarmos o sinal de proporcionalidade para o sinal de igual, temos a equação:
$latex ab=k$
onde k é a constante de proporcionalidade.
Para encontrar uma equação de proporcionalidade inversa, temos que começar encontrando a relação proporcional. Em seguida, escrevemos a equação usando a constante de proporcionalidade. Agora, encontramos o valor da constante usando os valores dados e, finalmente, inserimos o valor da constante na equação.
Existem várias situações no dia a dia que apresentam relações de proporcionalidade inversa, por exemplo:
• O tempo que um certo número de trabalhadores leva para concluir um trabalho varia inversamente com o número de trabalhadores. Isso significa que quanto mais trabalhadores tivermos, menos tempo levaremos para concluir o trabalho e vice-versa.
• A velocidade dos diferentes meios de transporte, como um carro, um trem, um avião, varia inversamente com o tempo necessário para percorrer uma certa distância. Quanto mais rápida for a velocidade, menos tempo levará para cobrir uma certa distância.
Exercícios de proporcionalidade inversa resolvidos
Os exercícios de proporcionalidade inversa a seguir têm suas respectivas soluções. Você pode usar esses exercícios para compreender totalmente os conceitos neste tópico. Para uma melhor prática, você mesmo pode resolver os exercícios antes de olhar as respostas.
EXERCÍCIO 1
Se leva 20 trabalhadores 8 dias para cultivar café em uma plantação. Quanto tempo levaria 16 trabalhadores para cultivar café na mesma plantação?
Solução
Da pergunta, temos que 20 trabalhadores levam 8 dias. Isto significa que um trabalhador irá levá:
1 trabalhador $latex=(20\times 8)$ dias
Agora, calculamos o tempo que levará para 16 trabalhadores:
16 trabalhadores $latex =\frac{20\times 8}{16}$ dias
$latex =10$ dias
Portanto, 16 trabalhadores levarão 10 dias.
EXERCÍCIO 2
9 torneiras podem encher um tanque em 4 horas. Quanto tempo demoraria para encher o mesmo tanque se tivermos 12 torneiras com a mesma vazão de água?
Solução
Leva 9 torneiras 4 horas e nós temos que encontrar o tempo que leva 12 torneiras. Então, podemos formar a seguinte relação:
$latex \frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{2}}{y_{1}}$
⇒ $latex \frac{9}{x}=\frac{12}{4}$
⇒ $latex x=3$
Portanto, demorará 12 torneiras e 3 horas para encher o tanque.
EXERCÍCIO 3
4 pessoas podem descarregar um caminhão cheio de quintais de arroz em 3 horas. Quanto tempo levaria 7 pessoas para descarregar o mesmo caminhão?
Solução
Temos que 4 pessoas levariam 3 horas. Isso significa que uma pessoa terá:
1 persona $latex=(4\times 3)$ horas
Agora, calculamos o tempo que levará 7 pessoas:
7 personas $latex =\frac{4\times 3}{7}$ horas
$latex =\frac{12}{7}$ horas
Então, 7 pessoas levarão $latex \frac{12}{7}$ horas ou 1.71 horas.
EXERCÍCIO 4
A base militar tinha suprimentos para 300 soldados por 90 dias. Após 20 dias, 50 soldados deixaram a base. Quanto tempo a comida vai durar?
Solução
Depois dos 20, o número de militares restantes na base é:
militares $latex=(300-50)=250$
Após 20 dias, o número de dias que duraria o abastecimento dos 300 militares é:
dias $latex =(90-20)=70$
Portanto, 300 soldados tiveram suprimentos para 70 dias. Isso significa que 1 militar tinha provisões para:
1 militar $latex =(300\times 70)$ días
250 militares $latex =\frac{300\times 70}{250}$ dias
$latex =84$ dias
Portanto, as demais provisões durarão 84 dias para 250 militares.
EXERCÍCIO 5
6 escritores que trabalham 5 horas por dia podem transcrever um livro em 16 dias. Quantos dias serão necessários para 4 escritores transcrever o mesmo livro, cada um trabalhando 6 horas por dia?
Solução
Temos 6 escritores que trabalham 5 horas por dia e podem terminar o trabalho em 16 dias. Isso significa que 6 escritores trabalhando 1 hora por dia podem terminar em:
6 escritores 1 hora diária $latex =(16\times 5)$ dias
1 escritor que trabalha 1 hora por dia pode terminar em:
1 escitor 1 hora diária $latex =(16\times 5\times 6)$ dias
1 escritor que trabalha 6 horas diarias podem terminar em:
1 escitor 6 horas diarias $latex =\frac{16\times 5\times 6}{6}$ días
4 escritores que trabalhan 6 horas diarias podem terminar em:
1 escitor 6 horas diarias $latex =\frac{16\times 5\times 6}{6\times 4}$ dias
$latex =20$ dias
Portanto, 4 escritores trabalhando 6 horas por dia podem terminar o trabalho em 20 dias.
EXERCÍCIO 6
Em uma fábrica de brinquedos, 36 máquinas são necessárias para produzir um determinado número de brinquedos em 54 dias. Quantas máquinas são necessárias para produzir o mesmo número de brinquedos em 81 dias?
Solução
Podemos formar uma tabela com os dados fornecidos:
| máquinas | 36 | x |
| dias | 54 | 81 |
Agora, podemos formar a seguinte equação e resolver:
$latex 36\times 54=x\times 81$
$latex \frac{36\times 54}{81}=x$
$latex \frac{4\times 54}{9}=x$
$latex x=\frac{216}{9}$
$latex x=24$
Portanto, são necessárias 24 máquinas para produzir o mesmo número de brinquedos em 81 dias.
Exercícios de proporcionalidade inversa para resolver
Depois de revisar cuidadosamente os exercícios resolvidos acima, você pode resolver os exercícios a seguir para testar seus conhecimentos sobre proporcionalidade inversa. Selecione uma resposta e verifique se você escolheu a resposta correta.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
