Um triângulo tem seis medidas: três lados e três ângulos. Quase sempre você conhece três, e a tarefa é achar as outras. O difícil não é a álgebra, e sim decidir qual lei usar primeiro e perceber quando os dados permitem dois triângulos diferentes.
Este guia é um mapa para essa decisão. O resolvedor abaixo trata os cinco casos de dados conhecidos, desenha o triângulo em escala e mostra cada passo. Se você quer a demonstração de cada lei separadamente, veja nossos artigos sobre a lei dos senos e a lei dos cossenos; aqui o foco é escolher e entender o caso ambíguo.
As duas leis num só lugar
Nomeie o triângulo de modo que o lado $latex a$ seja oposto ao ângulo $latex A$, o lado $latex b$ ao $latex B$ e o lado $latex c$ ao $latex C$. A lei dos senos diz:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
A lei dos cossenos diz que, para qualquer um dos três lados:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$
Isolando o ângulo, fica $latex \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. As outras duas versões saem trocando as letras. Quando $latex A=90^{\circ}$, o cosseno vale 0 e você recupera o teorema de Pitágoras.
Qual lei uso primeiro?
Veja quais dados você tem e procure a linha correspondente. As letras indicam a ordem dos dados: L é um lado e A é um ângulo.
| Dados | Caso | Comece com | Motivo |
|---|---|---|---|
| Três lados | LLL | Lei dos cossenos | Ainda não há nenhum ângulo, então não existe par lado-ângulo oposto para a lei dos senos. |
| Dois lados e o ângulo entre eles | LAL | Lei dos cossenos | Dá diretamente o terceiro lado. |
| Dois ângulos e o lado entre eles | ALA | Soma dos ângulos e depois lei dos senos | O terceiro ângulo é $latex 180^{\circ}-A-B$ e agora cada lado tem seu ângulo oposto. |
| Dois ângulos e um lado que não está entre eles | AAL | Soma dos ângulos e depois lei dos senos | Mesma ideia: primeiro o terceiro ângulo. |
| Dois lados e um ângulo que não está entre eles | LLA | Lei dos senos, com cuidado | É o caso ambíguo: zero, um ou dois triângulos. |
Depois do primeiro passo, quase sempre dá para terminar com qualquer uma das leis. Um hábito seguro: quando já conhece um lado, ache com a lei dos senos o ângulo oposto ao menor dos dois lados restantes. Esse ângulo é sempre agudo, então a resposta da calculadora é a correta.
O caso ambíguo (LLA)
Suponha que você conheça o ângulo $latex A$, o lado $latex a$ oposto a ele e o lado $latex b$ que fica ao lado dele. Imagine o lado $latex a$ como uma haste presa na ponta do lado $latex b$, que gira em direção à linha de base. Ela pode não alcançar, apenas encostar ou cortar a base em dois pontos. É exatamente o que o resolvedor mostra no modo LLA: a circunferência tracejada é o caminho da haste.
A lei dos senos dá $latex \sin B=\frac{b\sin A}{a}$. A calculadora devolve só o ângulo agudo desse seno, mas o ângulo $latex 180^{\circ}-B$ tem o mesmo seno. Por isso pode existir um segundo triângulo, e ele existe sempre que $latex A+(180^{\circ}-B)<180^{\circ}$.
Para decidir de antemão, compare $latex a$ com a altura $latex h=b\sin A$ quando $latex A$ é agudo:
| Condição sobre o lado a | Número de triângulos |
|---|---|
| $latex a<b\sin A$ | Nenhum: a haste é curta demais para chegar à base |
| $latex a=b\sin A$ | Um, e é um triângulo retângulo |
| $latex b\sin A<a<b$ | Dois: um $latex B$ agudo e um $latex B$ obtuso |
| $latex a\ge b$ | Um: a opção obtusa faria os ângulos somarem mais de $latex 180^{\circ}$ |
Se $latex A$ é reto ou obtuso, há um triângulo quando $latex a>b$ e nenhum nos outros casos. Como conferência, a lei dos cossenos transforma a pergunta numa equação do segundo grau em $latex c$, $latex c^2-2b\,c\cos A+b^2-a^2=0$, e o número de raízes positivas é o número de triângulos.
Exercícios resolvidos para resolver triângulos
Resolva cada um no papel primeiro. Mantenha pelo menos quatro casas decimais nos passos intermediários e arredonde só as respostas finais.
EXERCÍCIO 1
Resolva o triângulo de lados 7, 8 e 9 (LLL): $latex a=7$, $latex b=8$, $latex c=9$.
Solução
Três lados: use a lei dos cossenos para dois ângulos.
$$\cos A=\frac{8^2+9^2-7^2}{2\cdot 8\cdot 9}=\frac{96}{144}=0{,}6667\ \Rightarrow\ A=48{,}19^{\circ}$$
$$\cos B=\frac{7^2+9^2-8^2}{2\cdot 7\cdot 9}=\frac{66}{126}=0{,}5238\ \Rightarrow\ B=58{,}41^{\circ}$$
$$C=180^{\circ}-48{,}19^{\circ}-58{,}41^{\circ}=73{,}4^{\circ}$$
Os três ângulos estão encontrados. O maior ângulo fica em frente ao maior lado, como deve ser.
EXERCÍCIO 2
Resolva o triângulo com $latex b=10$, $latex c=14$ e o ângulo entre eles $latex A=60^{\circ}$ (LAL).
Solução
Dois lados e o ângulo entre eles: a lei dos cossenos dá o terceiro lado.
$$a^2=10^2+14^2-2\cdot 10\cdot 14\cos 60^{\circ}=296-140=156\ \Rightarrow\ a=12{,}49$$
Agora ache o ângulo oposto ao menor dos lados restantes, que é $latex b$, com a lei dos senos:
$$\sin B=\frac{10\sin 60^{\circ}}{12{,}49}=0{,}6934\ \Rightarrow\ B=43{,}9^{\circ}$$
$$C=180^{\circ}-60^{\circ}-43{,}9^{\circ}=76{,}1^{\circ}$$
EXERCÍCIO 3
Dois guardas estão a 1000 m um do outro numa estrada reta. Eles avistam o mesmo incêndio sob ângulos de 52° e 71° em relação à estrada, medidos em cada guarda entre a estrada e o incêndio. A que distância de cada guarda fica o incêndio?
Solução
Os ângulos estão nos guardas $latex A$ e $latex B$, e o lado entre eles é $latex c=1000$ (ALA).
$$C=180^{\circ}-52^{\circ}-71^{\circ}=57^{\circ}$$
$$b=\frac{1000\sin 71^{\circ}}{\sin 57^{\circ}}=1127{,}4\ \text{m},\qquad a=\frac{1000\sin 52^{\circ}}{\sin 57^{\circ}}=939{,}6\ \text{m}$$
O incêndio está a 1127,4 m do guarda A e a 939,6 m do guarda B.
EXERCÍCIO 4
Um triângulo tem $latex A=30^{\circ}$, $latex a=7$ e $latex b=10$. Encontre todos os triângulos possíveis.
Solução
O ângulo não está entre os lados (LLA), então verifique o caso ambíguo. A altura é $latex h=10\sin 30^{\circ}=5$. Como $latex 5<7<10$, há dois triângulos.
$$\sin B=\frac{10\sin 30^{\circ}}{7}=0{,}7143\ \Rightarrow\ B_1=45{,}58^{\circ}\ \text{ou}\ B_2=180^{\circ}-45{,}58^{\circ}=134{,}42^{\circ}$$
Triângulo 1: $latex C_1=180^{\circ}-30^{\circ}-45{,}58^{\circ}=104{,}42^{\circ}$ e $latex c_1=\frac{7\sin 104{,}42^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=13{,}56$.
Triângulo 2: $latex C_2=180^{\circ}-30^{\circ}-134{,}42^{\circ}=15{,}58^{\circ}$ e $latex c_2=\frac{7\sin 15{,}58^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=3{,}76$.
Os dois triângulos têm o ângulo e os lados dados. Coloque o resolvedor em LLA com os valores iniciais para vê-los juntos.
EXERCÍCIO 5
Um triângulo tem $latex A=40^{\circ}$, $latex a=5$ e $latex b=10$. Quantos triângulos atendem aos dados?
Solução
A altura é $latex h=10\sin 40^{\circ}=6{,}43$, maior que $latex a=5$. A haste é curta demais para chegar à base.
$$\sin B=\frac{10\sin 40^{\circ}}{5}=1{,}2856>1$$
Nenhum ângulo tem seno maior que 1, então o triângulo não existe.
EXERCÍCIO 6
Um triângulo tem $latex A=50^{\circ}$, $latex a=12$ e $latex b=9$. Resolva-o.
Solução
Aqui $latex a>b$, então esperamos exatamente um triângulo.
$$\sin B=\frac{9\sin 50^{\circ}}{12}=0{,}5745\ \Rightarrow\ B=35{,}07^{\circ}$$
A opção obtusa $latex 180^{\circ}-35{,}07^{\circ}=144{,}93^{\circ}$ não serve, pois com $latex A=50^{\circ}$ os ângulos somariam mais de $latex 180^{\circ}$.
$$C=94{,}93^{\circ},\qquad c=\frac{12\sin 94{,}93^{\circ}}{\sin 50^{\circ}}=15{,}61$$
Erros comuns
- Calculadora no modo errado. Ângulos em graus pedem o modo graus; um descuido muda todas as respostas.
- Esquecer o segundo triângulo em LLA. Sempre que os dados forem dois lados e um ângulo não compreendido, teste a opção obtusa $latex 180^{\circ}-B$.
- Usar a lei dos senos quando não há um lado com seu ângulo oposto, como em LLL e LAL. Ali comece com a lei dos cossenos.
- Em LAL, achar primeiro o maior ângulo com a lei dos senos. Procure antes o ângulo oposto ao menor lado, que é sempre agudo.
- Perder o sinal na lei dos cossenos. Com um ângulo obtuso, $latex \cos A$ é negativo e $latex -2bc\cos A$ é somado.
- Arredondar cedo demais, de modo que os três ângulos deixam de somar $latex 180^{\circ}$.
Exercícios para resolver triângulos
Decida primeiro o caso e depois a lei. Abra cada resposta para comparar.
1. Resolva o triângulo de lados 5, 6 e 7. Dê cada ângulo.
Resposta
LLL, então use cossenos: $latex A=44{,}42^{\circ}$, $latex B=57{,}12^{\circ}$ e $latex C=78{,}46^{\circ}$.
2. Resolva o triângulo com $latex b=8$, $latex c=5$ e $latex A=120^{\circ}$.
Resposta
LAL: $latex a=11{,}36$, depois $latex B=37{,}59^{\circ}$ e $latex C=22{,}41^{\circ}$. Primeiro acha-se o ângulo oposto ao menor lado $latex c$.
3. Resolva o triângulo com $latex A=48^{\circ}$, $latex B=71^{\circ}$ e $latex a=15$.
Resposta
AAL: $latex C=61^{\circ}$, $latex b=19{,}08$ e $latex c=17{,}65$.
4. Um triângulo tem $latex A=35^{\circ}$, $latex a=8$ e $latex b=12$. Encontre todas as soluções.
Resposta
Dois triângulos, pois $latex h=6{,}88<8<12$. Primeiro: $latex B=59{,}36^{\circ}$, $latex C=85{,}64^{\circ}$, $latex c=13{,}91$. Segundo: $latex B=120{,}64^{\circ}$, $latex C=24{,}36^{\circ}$, $latex c=5{,}75$.
5. Um triângulo tem $latex A=42^{\circ}$, $latex a=9$ e $latex b=5$. Resolva-o.
Resposta
Um triângulo, porque $latex a>b$: $latex B=21{,}82^{\circ}$, $latex C=116{,}18^{\circ}$ e $latex c=12{,}07$.
6. Existe um triângulo com $latex A=65^{\circ}$, $latex a=8$ e $latex b=10$?
Resposta
Não. A altura é $latex h=10\sin 65^{\circ}=9{,}06$, maior que 8, então o lado a não alcança a base.
Perguntas frequentes
Posso usar a lei dos cossenos para tudo?
Pode, com mais álgebra. Ela resolve LLL e LAL diretamente, e em LLA vira uma equação do segundo grau para o lado que falta. A lei dos senos é mais curta quando você já tem um lado com seu ângulo oposto.
Como sei se um triângulo dado por LLL é obtusângulo?
Olhe o maior lado. Se o quadrado dele for maior que a soma dos quadrados dos outros dois, o ângulo oposto é obtuso e o cosseno sai negativo.
Essas leis valem para triângulos retângulos?
Valem. Com $latex C=90^{\circ}$ a lei dos cossenos vira $latex c^2=a^2+b^2$ e a lei dos senos dá as razões de seno de sempre.
Por que LLL, LAL, ALA e AAL dão um só triângulo e LLA pode não dar?
Porque em LLA o ângulo dado não está entre os dois lados dados, e o lado livre pode girar e tocar a base em dois pontos.
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