A maioria das fórmulas de área de um triângulo pede a altura, e a altura costuma ser justamente o dado que falta. A fórmula de Heron pula essa etapa: você informa os três lados e ela devolve a área, sem medir mais nada e sem calcular ângulos.
O nome vem de Heron de Alexandria, matemático e engenheiro que a descreveu no século I. A seguir você vai ver o que a fórmula diz, por que ela funciona, como aplicá-la passo a passo e onde os estudantes mais erram. Comece arrastando os vértices do triângulo: a fórmula é calculada na hora, enquanto você os move.
A fórmula de Heron
Chame os lados de $latex a$, $latex b$ e $latex c$. Primeiro calcula-se o semiperímetro, que é a metade do perímetro:
$$s=\frac{a+b+c}{2}$$
Depois, a área é:
$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
Leia como quatro números multiplicados dentro de uma única raiz quadrada: $latex s$ e as três diferenças $latex s-a$, $latex s-b$ e $latex s-c$. Cada diferença precisa ser positiva. É a desigualdade triangular disfarçada: um triângulo só existe quando cada lado é menor que a soma dos outros dois.
Se preferir não calcular $latex s$, a mesma fórmula escrita direto com os lados é:
$$A=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$$
Como usar, passo a passo
- Confira se os lados formam um triângulo: os dois lados menores devem somar mais que o lado maior.
- Calcule o semiperímetro $latex s=(a+b+c)/2$.
- Calcule as três diferenças $latex s-a$, $latex s-b$ e $latex s-c$.
- Multiplique os quatro números $latex s$, $latex s-a$, $latex s-b$ e $latex s-c$.
- Extraia a raiz quadrada e escreva o resultado em unidades de área.
Guarde o produto exato até o fim e arredonde só a resposta. Arredondar as diferenças cedo demais é o jeito mais fácil de perder uma casa decimal.
Por que funciona
A demonstração usa dois fatos que você já conhece: a área $latex A=\frac{1}{2}ab\sin C$ e a lei dos cossenos $latex c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. Eleva-se a área ao quadrado e usa-se $latex \sin^2 C=1-\cos^2 C$:
$$16A^2=4a^2b^2\sin^2 C=4a^2b^2-(2ab\cos C)^2=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2$$
O lado direito é uma diferença de quadrados, então fatora:
$$16A^2=\big(c^2-(a-b)^2\big)\big((a+b)^2-c^2\big)=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$$
Cada fator é o dobro de um dos nossos números: $latex a+b+c=2s$, $latex b+c-a=2(s-a)$, $latex a+c-b=2(s-b)$ e $latex a+b-c=2(s-c)$. Multiplicando, fica $latex 16A^2=16\,s(s-a)(s-b)(s-c)$; dividir por 16 e extrair a raiz leva à fórmula de Heron.
As diferenças também têm um significado geométrico: $latex s-a$ é a distância do vértice A até os pontos onde a circunferência inscrita toca os dois lados que se encontram em A. O mesmo vale para $latex s-b$ e $latex s-c$.
Exercícios resolvidos da fórmula de Heron
Tente resolver cada problema sozinho e depois abra a solução para comparar.
EXERCÍCIO 1
Encontre a área de um triângulo com lados de 13, 14 e 15.
Solução
Os lados formam um triângulo porque 13 + 14 é maior que 15. O semiperímetro é:
$$s=\frac{13+14+15}{2}=\frac{42}{2}=21$$
Agora as diferenças e o produto:
$$A=\sqrt{21\cdot(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$$
A área é de 84 unidades de área. Os números saem redondos porque é o clássico triângulo 13-14-15, e você pode conferir na ferramenta acima.
EXERCÍCIO 2
Um triângulo tem lados de 7 cm, 8 cm e 9 cm. Calcule sua área.
Solução
$$s=\frac{7+8+9}{2}=12$$
$$A=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}\approx 26{,}83$$
A área é de aproximadamente 26,83 cm². Quando a raiz não é exata, dê o decimal e diga quantas casas você manteve.
EXERCÍCIO 3
Um triângulo tem lados de 10, 17 e 21. Encontre sua área e a altura traçada até o maior lado.
Solução
$$s=\frac{10+17+21}{2}=24$$
$$A=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{7056}=84$$
O maior lado mede 21, então o usamos como base em $latex A=\frac{1}{2}bh$:
$$84=\frac{1}{2}\cdot 21\cdot h\quad\Rightarrow\quad h=\frac{2\cdot 84}{21}=8$$
A altura até o lado de 21 mede 8. É assim que a fórmula de Heron ajuda a achar uma altura quando só se conhecem os lados.
EXERCÍCIO 4
Um jardim triangular tem lados de 52 m, 56 m e 60 m. Um saco de semente de grama cobre 150 m². Quantos sacos são necessários?
Solução
$$s=\frac{52+56+60}{2}=84$$
$$A=\sqrt{84\cdot 32\cdot 28\cdot 24}=\sqrt{256\cdot 7056}=16\cdot 84=1344$$
O jardim tem área de 1344 m². Como $latex 1344\div 150=8{,}96$, são necessários 9 sacos (arredonda-se para cima, porque com 8 sobraria uma parte sem semente).
Note que os lados são exatamente quatro vezes os do triângulo 13-14-15, então a área é 16 vezes maior: 16 × 84 = 1344.
EXERCÍCIO 5
Existe um triângulo com lados de 3, 4 e 8? O que a fórmula de Heron indica?
Solução
Não. Os dois lados menores somam 3 + 4 = 7, que é menos que 8. A fórmula avisa: $latex s=7{,}5$ e $latex s-c=7{,}5-8=-0{,}5$, então o número dentro da raiz é negativo.
Um resultado negativo dentro da raiz sempre significa que as três medidas não formam um triângulo.
Fórmula de Heron ou outra fórmula?
| O que você conhece | Fórmula indicada |
|---|---|
| Base e altura | $latex A=\frac{1}{2}bh$ |
| Dois lados e o ângulo entre eles | $latex A=\frac{1}{2}ab\sin C$ |
| Os três lados | Fórmula de Heron |
| Coordenadas dos três vértices | A fórmula do determinante (ou do cadarço) |
| Triângulo equilátero de lado $latex a$ | $latex A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ |
Atalhos e usos reais
A fórmula de Heron também traz atalhos. Num triângulo isósceles com dois lados iguais de comprimento $latex a$ e base $latex b$, as diferenças se simplificam e a área fica assim:
$$A=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$$
Com lados de 10, 10 e 12 resulta $latex \frac{12}{4}\sqrt{400-144}=3\cdot 16=48$, o mesmo triângulo do terceiro exemplo pronto da ferramenta acima.
Os topógrafos usam a mesma ideia. Um terreno irregular é dividido em triângulos, os três lados de cada um são medidos com trena ou laser, e a fórmula de Heron dá cada área sem que ninguém precise ficar em ângulo reto com um lado. Somando as partes, você tem a área do terreno todo.
A ordem dos lados não importa. A fórmula é simétrica em $latex a$, $latex b$ e $latex c$, então você pode nomeá-los em qualquer ordem e a área será a mesma.
Erros comuns
- Usar o perímetro no lugar do semiperímetro. No triângulo 13-14-15 você poria 42 em vez de 21 e o resultado sairia errado.
- Esquecer a raiz quadrada no final e escrever 7056 em vez de 84.
- Arredondar $latex s$ ou as diferenças cedo demais. Mantenha frações ou decimais completos até o último passo.
- Misturar unidades, por exemplo um lado em metros e outro em centímetros.
- Não conferir se o triângulo existe. Se alguma diferença for zero ou negativa, não há triângulo (com diferença zero sobra um triângulo achatado de área 0).
Exercícios da fórmula de Heron para resolver
Use os passos acima. Abra cada resposta quando estiver pronto.
1. Encontre a área de um triângulo com lados de 5, 12 e 13.
Resposta
$latex s=15$ e $latex A=\sqrt{15\cdot 10\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{900}=30$. A área é de 30 unidades de área (é um triângulo retângulo e $latex \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$ confere).
2. Encontre a área de um triângulo com lados de 9, 10 e 17.
Resposta
$latex s=18$ e $latex A=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=\sqrt{1296}=36$. A área é de 36 unidades de área.
3. Encontre a área de um triângulo equilátero de 6 cm de lado.
Resposta
$latex s=9$ e $latex A=\sqrt{9\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\sqrt{243}=9\sqrt{3}\approx 15{,}59$. A área é de cerca de 15,59 cm².
4. Encontre a área de um triângulo com lados de 25, 29 e 36.
Resposta
$latex s=45$ e $latex A=\sqrt{45\cdot 20\cdot 16\cdot 9}=\sqrt{129600}=360$. A área é de 360 unidades de área.
5. O triângulo de lados 13, 14 e 15 tem área 84. Quanto mede a altura traçada até o lado de 15?
Resposta
$latex h=\frac{2A}{15}=\frac{168}{15}=11{,}2$. A altura mede 11,2 unidades.
6. Existe um triângulo com lados de 4, 5 e 10?
Resposta
Não. $latex 4+5=9$ é menor que 10. Na fórmula, $latex s=9{,}5$ e $latex s-c=-0{,}5$, então o produto dentro da raiz é negativo.
Perguntas frequentes
A fórmula de Heron vale para qualquer triângulo?
Vale: acutângulo, retângulo ou obtusângulo. A única exigência é que as três medidas possam formar um triângulo.
O resultado é exato ou aproximado?
A fórmula é exata. Qualquer aproximação vem do arredondamento de uma raiz quadrada. Em triângulos quase achatados com lados muito longos, as calculadoras usam uma forma equivalente que ordena os lados antes, para que subtrair números quase iguais não perca dígitos.
Posso usar com uma figura de quatro lados?
Não diretamente. Divida a figura em dois triângulos com uma diagonal, aplique a fórmula de Heron em cada um e some as áreas. Para isso você precisa do comprimento da diagonal.
Por que se chama semiperímetro?
Porque $latex s$ é a metade do perímetro. É o número natural para esta fórmula: $latex s-a$ também é a distância de um vértice até os pontos onde a circunferência inscrita toca os lados.
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