Fórmula de Euler para poliedros: faces, arestas e vértices

Conte os vértices, as arestas e as faces de quase qualquer sólido sem buracos e os três números sempre cumprem uma mesma equação curta. Um cubo tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Uma pirâmide pentagonal tem 6, 10 e 6. Pegue os vértices, subtraia as arestas, some as faces e nos dois casos dá 2.

Esta é a fórmula de Euler para poliedros. É um dos primeiros lugares em que a geometria vira topologia, porque ela não liga para comprimentos nem ângulos, só para como as partes se conectam. Nosso artigo sobre os sólidos platônicos a usa de passagem. Aqui ela ganha uma página própria: como usar para achar contagens que faltam, por que é verdadeira e a única situação em que falha. Gire os sólidos abaixo e deixe o programa contar por você.

A fórmula de Euler

Um poliedro é um sólido cuja superfície é formada por polígonos planos chamados faces. Duas faces se encontram numa aresta, e as arestas se encontram em pontos chamados vértices. Escreva $latex V$ para o número de vértices, $latex A$ para as arestas e $latex F$ para as faces. Para qualquer poliedro sem buracos:

$$V-A+F=2$$

Você também vai vê-la escrita como $latex F+V-A=2$ ou $latex F+V=A+2$. As três dizem a mesma coisa, e cada uma permite isolar uma contagem que falta.

$$A=V+F-2\qquad\qquad V=A-F+2\qquad\qquad F=A-V+2$$

Conferindo a fórmula em sólidos conhecidos

Aqui estão os cinco sólidos platônicos. Todas as faces de um sólido platônico são o mesmo polígono regular, e em cada vértice se encontram a mesma quantidade de faces.

Sólido	Faces	V	A	F	V − A + F
Tetraedro	4 triângulos	4	6	4	2
Cubo	6 quadrados	8	12	6	2
Octaedro	8 triângulos	6	12	8	2
Dodecaedro	12 pentágonos	20	30	12	2
Icosaedro	20 triângulos	12	30	20	2

Prismas e pirâmides seguem padrões que se escrevem como fórmulas. Um prisma com base de $latex n$ lados tem $latex 2n$ vértices, $latex 3n$ arestas e $latex n+2$ faces. Uma pirâmide com base de $latex n$ lados tem $latex n+1$ vértices, $latex 2n$ arestas e $latex n+1$ faces.

Sólido	V	A	F	V − A + F
Prisma triangular	6	9	5	2
Prisma pentagonal	10	15	7	2
Prisma hexagonal	12	18	8	2
Pirâmide quadrada	5	8	5	2
Pirâmide hexagonal	7	12	7	2

Para o prisma, $latex 2n-3n+(n+2)=2$, e para a pirâmide, $latex (n+1)-2n+(n+1)=2$. A fórmula vale para todo $latex n$, então você pode conferir mexendo no controle da ferramenta acima.

Duas regras de contagem que a acompanham

A fórmula de Euler tem três incógnitas, então normalmente você precisa de mais uma relação. Duas regras de contagem a fornecem.

• Cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces. Por isso, ao somar os lados de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, então $latex 2A$ é igual a esse total.
• Cada aresta tem duas pontas. Por isso, ao somar as arestas que chegam a cada vértice, também se conta cada aresta duas vezes, então $latex 2A$ é igual a essa soma.

Num poliedro com 8 faces triangulares, o total de lados é $latex 8\cdot 3=24$, então $latex A=12$. A fórmula de Euler dá então $latex V=2+12-8=6$.

Por que a fórmula é verdadeira

Imagine o poliedro feito de borracha. Recorte uma face e estique o resto sobre uma mesa. Sobra um mapa plano de vértices, arestas e faces, em que a face que falta vira a região externa, então a contagem de faces não muda.

Agora construa esse mapa do zero. Comece com um único vértice: $latex V=1$, $latex A=0$ e uma face (a externa), então $latex V-A+F=1-0+1=2$. Cada passo preserva o valor:

• Acrescente um vértice novo ligado por uma aresta a um já existente. Então $latex V$ e $latex A$ aumentam 1 cada, e a diferença não muda.
• Acrescente uma aresta entre dois vértices que já existem. Isso fecha um ciclo e divide uma face em duas, então $latex A$ e $latex F$ aumentam 1 cada, e o total continua 2.

Todo mapa conexo pode ser construído assim, por isso $latex V-A+F$ é sempre 2. A demonstração falha quando a superfície tem um buraco, porque então um ciclo em volta do buraco não divide nenhuma face.

Quando a fórmula falha

Uma moldura de quadro é um sólido com um buraco retangular que o atravessa. Construa-a com faces planas e você obtém $latex V=16$, $latex A=32$ e $latex F=16$, então $latex V-A+F=0$. Escolha "Moldura de quadro" na ferramenta acima para ver a contagem. Em geral, um sólido com $latex g$ buracos dá:

$$V-A+F=2-2g$$

A fórmula também exige que cada face seja um polígono plano sem buraco próprio e que o sólido seja uma peça só e conexa. Um sólido pode ser não convexo, com reentrâncias, e ainda assim dar 2, desde que não tenha buracos.

Exercícios resolvidos da fórmula de Euler

Resolva cada problema antes de abrir a solução.

Erros comuns

• Não contar as arestas e faces escondidas. Conte também a parte de trás, ou gire o sólido até ver tudo.
• Não contar a base como face de uma pirâmide ou de um prisma. Ela é uma face, inclua-a.
• Trocar a ordem e escrever $latex V+A-F$. Vértices e faces se somam, arestas se subtraem.
• Usar a fórmula num sólido com buraco, como uma moldura ou uma figura de rosquinha.
• Contar as arestas duas vezes ao somar os lados das faces. Divida esse total por 2.

Exercícios da fórmula de Euler para resolver

Use a fórmula e as duas regras de contagem. Abra cada resposta para conferir.

1. Um cubo tem 8 vértices e 12 arestas. Quantas faces ele tem?

Resposta

$latex F=2-8+12=6$.

2. Um poliedro tem 14 vértices e 21 arestas. Quantas faces ele tem? Cite um sólido com essas contagens.

Resposta

$latex F=2-14+21=9$. Um prisma heptagonal tem $latex V=14$, $latex A=21$ e $latex F=9$.

3. Encontre os vértices, arestas e faces de uma pirâmide com base de 7 lados.

Resposta

$latex V=8$, $latex A=14$, $latex F=8$. Conferência: $latex 8-14+8=2$.

4. Um poliedro tem 6 faces, todas quadriláteros. Quantas arestas e vértices ele tem?

Resposta

$latex A=6\cdot 4\div 2=12$ e $latex V=2+12-6=8$. Por exemplo, um cubo.

5. Um icosaedro tem 20 faces triangulares. Encontre suas arestas e vértices.

Resposta

$latex A=20\cdot 3\div 2=30$ e $latex V=2+30-20=12$.

6. Diz-se que um sólido convexo tem 10 vértices, 18 arestas e 9 faces. É possível?

Resposta

$latex 10-18+9=1$, que não é 2. Não é possível.

Perguntas frequentes

A fórmula de Euler vale para poliedros não convexos?

Vale, desde que o sólido não tenha buracos e seja uma peça só e conexa. Um sólido com reentrâncias ou em forma de estrela também dá $latex V-A+F=2$.

Por que é 2?

Porque uma esfera tem número de Euler igual a 2. Qualquer sólido que você possa inflar até virar uma bola dá 2. Um sólido com um buraco que o atravessa lembra uma rosquinha, e uma rosquinha dá 0.

Existe uma versão para figuras planas?

Existe. Um mapa plano conexo com $latex V$ vértices, $latex A$ arestas e $latex F$ regiões (contando a externa) também cumpre $latex V-A+F=2$. É assim que funciona a demonstração acima.

Quem a descobriu?

Leonhard Euler a descreveu na década de 1750. René Descartes havia encontrado um resultado relacionado cerca de um século antes.

Calculadoras relacionadas

Quando você souber as faces e arestas de um sólido, ache o volume e a área de superfície com estas ferramentas:

• Calculadora de Volume de Sólidos
• Calculadora de Área de Superfície

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