Os sólidos platônicos são figuras tridimensionais, nas quais todas as suas faces são polígonos regulares congruentes. No total, existem cinco sólidos platônicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Essas figuras estão associadas aos cinco elementos da natureza: fogo, terra, ar, água e universo.
A seguir, aprenderemos mais detalhes sobre os sólidos platônicos. Conheceremos seus diagramas e algumas de suas propriedades mais importantes.
O que são os sólidos platônicos?
Os sólidos platônicos são poliedros regulares e convexos com todas as suas faces iguais. Assim, um sólido platônico é composto de faces que são polígonos regulares congruentes.
Além disso, podemos definir os sólidos platônicos como figuras tridimensionais, nas quais todas as suas faces são o mesmo polígono regular e nas quais o mesmo número de faces se encontram em cada vértice.
No total, são cinco figuras geométricas que atendem a essas condições, então temos cinco sólidos platônicos:
- Tetraedro
- Cubo
- Octaedro
- Dodecaedro
- Icosaedro
Platão foi quem estudou essas figuras geométricas e por isso essas figuras foram chamadas de sólidos platônicos. Além disso, Platão associou cada figura com os cinco elementos da natureza:
- O tetraedro com fogo
- O cubo com a terra
- O octaedro com o ar
- O icosaedro com a água
- O dodecaedro com o universo
Propriedades dos sólidos platônicos
A seguir estão algumas das propriedades importantes dos sólidos platônicos:
- Os sólidos platônicos são poliedros convexos.
- Todas as faces dos sólidos platônicos são regulares e congruentes.
- O mesmo número de faces se encontram em cada vértice.
- Os sólidos platônicos obedecem à fórmula de Euler: C+V-A=2, onde C é o número de faces, V é o número de vértices e A é o número de arestas.
- A soma dos ângulos em cada vértice é menor que 360°.
- Os sólidos platônicos têm faces paralelas, exceto o tetraedro.
Os 5 sólidos platônicos
Os 5 sólidos platônicos são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
1. Tetraedro
O tetraedro é um sólido platônico, que tem todas as suas faces de forma triangular. Esta figura também é conhecida como pirâmide triangular. O tetraedro consiste em 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices.
Os quatro vértices do tetraedro estão a distâncias semelhantes entre si. Ao contrário de outros sólidos platônicos, os tetraedros não possuem faces paralelas. No entanto, eles têm 6 planos de simetria.
2. Cubo
O cubo é um sólido platônico, que tem todas as suas faces quadradas. O cubo também é conhecido como hexaedro regular, pois possui seis faces quadradas idênticas. Um cubo é composto por 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.
As faces opostas de um cubo são paralelas entre si. Cada uma das faces do cubo encontra 4 faces, uma em cada um de seus lados. Além disso, o ângulo entre duas faces é um ângulo reto, ou seja, 90°.
3. Octaedro
O octaedro é um sólido platônico com todas as suas faces de forma triangular. Um octaedro tem 8 faces triangulares, 12 arestas e 6 vértices. Estas figuras têm a forma de uma pirâmide quadrada dupla.
Cada uma das faces do octaedro encontra três outras faces. Além disso, quatro faces se encontram em cada vértice.
4. Dodecaedro
O dodecaedro é um sólido platônico, que tem todas as suas faces em forma pentagonal. Um dodecaedro consiste em 12 faces, 30 arestas e 20 vértices. Três faces pentagonais se encontram em cada vértice.
Uma propriedade interessante dos dodecaedros é que eles têm 160 diagonais. Além disso, essas figuras podem ser vistas comumente na vida real, especialmente em dados em forma de dodecaedro.
5. Icosaedro
O icosaedro é um sólido platônico com todas as suas faces de forma triangular. Os icosaedros têm 20 faces, 30 arestas e 12 vértices.
Icosaedros são os sólidos platônicos com o maior número de faces. Além disso, essas figuras têm o maior volume em relação à sua área de superfície.
Por que existem apenas 5 sólidos platônicos?
Para que uma figura tridimensional seja um sólido platônico, ela deve ser composta de polígonos regulares congruentes. Por sua vez, para que isso seja possível, você deve atender às seguintes condições:
- Pelo menos 3 faces devem se encontrar em cada vértice do sólido platônico.
- Os ângulos internos que se encontram em um vértice devem ser menores que 360°.
A razão para a primeira condição é que se apenas duas faces se encontram em cada vértice, não é possível formar uma figura tridimensional fechada.
A razão para a segunda condição é que se os ângulos formados em um vértice são iguais a 360°, as figuras seriam planas.
Assim, verifica-se que apenas as 5 figuras conhecidas como sólidos platônicos atendem a essas condições como podemos ver na tabela a seguir:
| Sólido Platônico | Cada vértice | Ângulos nos vértices |
| Tetraedro | 3 triângulos | Cada ângulo= 90° 90×3=270° |
| Cubo | 3 quadrados | Cada ângulo= 60° 60×3=180° |
| Octaedro | 4 triângulos | Cada ângulo= 60° 60×4=240° |
| Dodecaedro | 3 pentágonos | Cada ângulo= 108° 108×3=324° |
| Icosaedro | 5 triângulos | Cada ângulo = 60° 60×5=300° |
As únicas figuras que podem formar os sólidos platônicos são triângulos, quadrados e pentágonos. Existem três maneiras possíveis de formar um vértice tridimensional com triângulos equiláteros, uma forma com quadrados e uma forma com pentágonos.
Assim, existem cinco maneiras de organizar polígonos regulares em torno de um vértice para formar uma rede, que pode ser dobrada para formar uma figura tridimensional côncava.
Os triângulos formam os tetraedros, octaedros e icosaedros.
Os quadrados formam os cubos.
Os pentágonos formam os dodecaedros.
Exercícios resolvidos de sólidos platônicos
Os exemplos a seguir são resolvidos usando o conhecimento básico de sólidos platônicos.
EXERCÍCIO 1
Qual dos seguintes não é um sólido platônico?
- Tetraedro
- Cubo
- Hexágono
- Dodecaedro
Solução: O hexágono não é um sólido platônico, pois é uma figura bidimensional. O tetraedro, o cubo e o dodecaedro são de fato sólidos platônicos, pois atendem a todas as condições.
EXERCÍCIO 2
Qual é o nome do seguinte sólido platônico?
Solução: Podemos ver que o sólido platônico tem 12 faces pentagonais, então sabemos que ele é chamado de dodecaedro.
EXERCÍCIO 3
Um sólido platônico tem 20 faces e 12 vértices. Quantas arestas tem?
Solução: Os sólidos platônicos obedecem à fórmula de Euler. Então, usando a fórmula com os dados fornecidos, temos:
C+V-A=2
A=C+V-2
A=20+12-2
A=30
Então o sólido platônico tem 30 arestas.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
