Derivada de tangente quadrado, tan^2(x) – Demonstração e gráficos

Prova da derivada da função tangente quadrado usando a regra da cadeia

Você pode revisar a fórmula da regra da cadeia visitando este link: Regra da Cadeia. Além disso, você pode visitar este outro link para a demonstração da derivada da função tangente: Derivada da tangente, tan(x).

Tem em conta que

$latex \tan^{2}{(x)} \neq \tan{(x^2)}$

Podemos usar a regra da cadeia para derivar esta função, já que é uma função composta. Então, começamos com

$latex F(x) = \tan^{2}{(x)}$

Notamos que existem duas funções que compõem F(x), uma função de potência e uma função trigonométrica. Especificamente, elas são uma função elevada a uma potência de dois e uma função tangente.

Se reescrevermos a função da seguinte forma, podemos visualizar melhor:

$latex F(x) = \tan^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\tan{(x)})^2$

Agora, podemos ver claramente que a função tangente é a função interna e a função de potência é a função externa. Assim, podemos escrever:

$latex f(u) = u^2$

onde

$latex u = \tan{(x)}$

Se denotarmos a função tangente como g(x), temos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \tan{(x)}$

Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Diferenciando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica tangente em termos de x, temos

$latex g(x) = \tan{(x)}$

$latex g'(x) = \sec^{2}{(x)}$

Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec^{2}{(x)})$

Substituindo u em f‘(u), temos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\tan{(x)})) \cdot (\sec^{2}{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(x)} \cdot \sec^{2}{(x)}$

Isso nos leva à fórmula da derivada da tangente x ao quadrado.

$latex \frac{d}{dx} \tan^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

Relação entre a derivada da tangente quadrado e a secante quadrado

Você pode estar se perguntando por que a derivada de ambas as funções

$latex \tan^{2}{(x)}$

e

$latex \sec^{2}{(x)}$

eles são os mesmos.

De acordo com a fórmula Pitagórica para tangentes e secantes,

$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$

Se tentarmos diferenciar os dois lados da equação, teremos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Avaliando a derivada do primeiro termo do lado direito da equação, que é a derivada de uma constante 1, temos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

É por isso que tanto a tangente ao quadrado quanto a secante ao quadrado têm a mesma derivada.

Gráfico da tangente quadrado de x vs. a derivada da tangente ao quadrado de x

O gráfico da função

$latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$

é

Derivando $latex f (x) = \tan^{2}{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

que tem o seguinte gráfico

Comparando seus gráficos, temos

A partir dos gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$ tem um domínio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e existe dentro da imagem de

$latex [0,\infty)$

enquanto a derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tem domínio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e existe dentro da imagem de

$latex (-\infty,\infty)$

Exemplos

Os exemplos seguintes mostram como encontrar a derivada de uma função tangente quadrado composta.

Prática de derivadas de funções tangentes quadradas

Veja também

Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas ao quadrado? Veja estas páginas:

• Derivada de cosseno quadrado, cos^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de seno quadrado, seno^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada da secante quadrado, sec^2(x) – Demonstração e gráficos
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