Derivada da Tangente, tan(x) – Fórmula, Prova e Gráficos

A derivada da tangente é uma das primeiras funções transcendentais introduzidas no cálculo diferencial (ou cálculo I). A derivada da função tangente é igual a secante ao quadrado, sec²(x). Podemos provar esta derivada usando limites e identidades trigonométricas.

Neste artigo, discutiremos como derivar a função trigonométrica tangente. Abordaremos breves fundamentos, sua fórmula, uma comparação gráfica da tangente e sua derivada, uma demonstração, métodos para diferenciar e alguns exemplos.

CÁLCULO
Derivada-de-tangente-tanx

Relevante para

Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada da tangente.

Ver prova

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Derivada-de-tangente-tanx

Relevante para

Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada da tangente.

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Prova da derivada da função tangente usando limites

A função trigonométrica tangente de um ângulo é definida como a razão entre o lado oposto e o lado adjacente de um ângulo em um triângulo retângulo. Ilustrando-o através de uma figura, temos

triângulo-direita-ABC

onde C é 90°. Portanto, a obtenção da tangente do ângulo A pode ser avaliada como

$latex \tan{(A)} = \frac{a}{b}$

Antes de aprender a prova da derivada da função tangente, recomenda-se aprender o teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao e o primeiro princípio dos limites como pré-requisitos.

Lembre-se de que qualquer função pode ser derivada igualando-a ao limite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Suponha que nos peçam para encontrar a derivada de

$latex f(x) = \tan{(x)}$

então temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \tan{(x+h)} – \tan{(x)} }{h}}$$

Com esta equação, ainda não é possível expressar o limite devido ao denominador h onde se for substituído por zero, permanecerá indefinido. Portanto, podemos verificar se pode ser útil aplicar algumas identidades trigonométricas.

Analisando nossa equação, podemos ver que tanto o primeiro quanto o segundo termos no numerador do limite são uma tangente da soma de dois ângulos x e h e uma tangente do ângulo x. Com essa observação, podemos tentar aplicar as identidades de relacionamento definidoras para tangente, seno e cosseno. Aplicando isso, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\sin{(x+h)}}{\cos{(x+h)}} – \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}} }{h}}$$

Reorganizando algebricamente aplicando algumas regras de fração, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\sin{(x+h)}\cos{(x)} – \cos{(x+h)}\sin{(x)}}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h)}\cos{(x)} – \cos{(x+h)}\sin{(x)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}}}$$

Observando o numerador rearranjado, podemos tentar aplicar as identidades de soma e diferença para seno e cosseno, também chamadas de identidades ptolomaicas.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h-x)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(h)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}}}$$

Reorganizando aplicando o limite do produto de duas funções, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \cdot \frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

De acordo com os limites das funções trigonométricas, o limite da função trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ para $latex \theta$ quando $latex \theta$ se aproxima de zero é igual a um. O mesmo pode ser aplicado a $latex \sin{(h)}$ sobre $latex h$. Aplicando temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {1} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

Finalmente, tornamos possível avaliar o limite do que resta na equação. Substituindo o valor aproximado de $latex h$, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+(0))}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{\cos{(x)}\cos{(x)}}$$

Sabemos pelas identidades que o inverso do cosseno da função trigonométrica é secante. Aplicando, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{\cos{(x)}} \cdot \frac{1}{\cos{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \sec{(x)} \cdot \sec{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \sec^{2}{(x)}$$

Portanto, a derivada da função trigonométrica ‘tangente’ é:

$$\frac{d}{dx} (\tan{(x)}) = \sec^{2}{(x)}$$


Gráfico da tangente de x vs. a derivada da tangente de x

Dada a função

$latex f(x) = \tan{(x)}$

seu gráfico é

gráfico-de-tangente-tanx

E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \tan{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = \sec^{2}{(x)}$

que é ilustrado graficamente como

Gráfico-da-derivada-de-tanx

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Gráfico-de-tanx-e-sua-derivada

Analisando as diferenças dessas funções nesses gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \tan{(x)}$ tem domínio de

$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e existe dentro da imagem de

$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais

enquanto a derivada $latex f ‘(x) = \sec^{2}{(x)}$ tem domínio de

$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e existe dentro da imagem de

$latex [1,\infty)$ ou $latex y \geq 1$


Exemplos de derivadas de funções tangentes compostas

Abaixo estão alguns exemplos do uso da regra da cadeia para derivar uma função tangente composta.

EXEMPLO 1

Derive: $latex f(x) = \tan(5x)$

Solução

EXEMPLO 2

Derive: $latex F(x) = \tan{\left(3x^2+6 \right)}$

Solução

EXEMPLO 3

Encontre a derivada de $latex f(x) = \tan(\sqrt{x})$.

Solução

Prática de derivadas de funções tangentes compostas

Prática de derivadas de tangente
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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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