Derivada de Secante, sec(x) – Fórmula, Prova e Gráficos

A derivada da função secante é igual à secante multiplicada pela tangente, sec(x)tan(x). Podemos provar esta derivada usando limites e identidades trigonométricas.

Neste artigo, vamos aprender como derivar a função trigonométrica secante. Vamos cobrir uma demonstração da derivada, uma comparação de gráficos da secante e sua derivada e alguns exemplos.

CÁLCULO
Derivado-de-secante-secx

Relevante para

Aprender sobre a prova e os gráficos da derivada da secante.

Ver prova

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Prova da derivada da função secante

A função trigonométrica secante de um ângulo é definida como a razão entre a hipotenusa e o lado adjacente de um ângulo em um triângulo retângulo. Ilustrando-o através de uma figura, temos

triângulo-direita-ABC

onde C é 90°. Para o triângulo mostrado, a obtenção da secante do ângulo A pode ser avaliada como

$latex \sec{(A)} = \frac{c}{b}$

onde A é o ângulo, C é a hipotenusa e B é o lado adjacente.

Antes de aprender a Prova da Derivada da Função Secante, é recomendado que você aprenda o Teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa e Cho-Sha-Cao, e o Princípio dos Limites como pré-requisitos.

Lembre-se de que qualquer função pode ser derivada usando limites como segue

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Suponha que temos que obter a derivada de

$latex f(x) = \sec{(x)}$

então temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sec{(x+h)} – \sec{(x)} }{h}}$$

Analisando nossa equação, podemos ver que tanto o primeiro quanto o segundo termos no numerador do limite são uma secante da soma de dois ângulos x e h e uma secante do ângulo x. Com esta observação, podemos tentar aplicar as identidades de relacionamento definidoras para secante e cosseno. Aplicando isso, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{1}{\cos{(x+h)}} – \frac{1}{\cos{(x)}} }{h}}$$

Reorganizando algebricamente aplicando algumas regras de fração, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{ \cos{(x)} – \cos{(x+h)} }{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \cos{(x)} – \cos{(x+h)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} }$$

Olhando para o numerador rearranjado, podemos tentar aplicar as identidades do produto-soma do cosseno.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{x+(x+h)}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-(x+h)}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{x+x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-x-h}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{-h}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

Com base nas identidades trigonométricas de um seno de um ângulo negativo, isso é igual ao seno negativo desse mesmo ângulo, mas na forma positiva. Aplicando isso ao segundo multiplicando do numerador, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot \left( -\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \right) }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

Reorganizando algebricamente e aplicando o limite do produto de duas funções, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{\cos{(x+h)}\cos{(x)} \cdot h} \right)}$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \cdot \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

Aplicando algumas regras de fração ao segundo multiplicando, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right)}$$

De acordo com os limites das funções trigonométricas, o limite da função trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ para $latex \theta$ quando $latex \theta$ se aproxima de zero é igual a um. O mesmo pode ser aplicado a $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Aplicando temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {1}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)}$$

Finalmente, tornamos possível avaliar o limite do que resta na equação. Avaliando substituindo o valor aproximado de $latex h$, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+(0)}{2}\right)} }{ \cos{(x+(0))}\cos{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x}{2}\right)} }{ \cos{(x)}\cos{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{\sin{(x)} }{ \cos{(x)}\cos{(x)} }$$

Aplicando algumas identidades trigonométricas para simplificar a fórmula derivada usando identidades de relações definidas, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{ \sin{(x)} }{ \cos{(x)} } \cdot \frac{1}{\cos{(x)}} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \tan{(x)} \cdot \sec{(x)} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \sec{(x)} \tan{(x)}$$

Portanto, a derivada da função trigonométrica ‘secante’ é:

$$\frac{d}{dx} (\sec{(x)}) = \sec{(x)} \tan{(x)}$$


Gráfico da secante de x vs. a derivada da secante de x

O gráfico da função

$latex f(x) = \sec{(x)}$

é

secx-secante-plot

Diferenciando $latex f (x) = \sec(x)$, obtemos

$latex f'(x) = \sec{(x)}\tan{(x)}$

que é ilustrado graficamente como

Gráfico-da-derivada-de-secx

Comparando os seus gráficos, temos

Gráfico-de-secx-e-sua-derivada

Podemos ver que a função original $latex f(x) = \sec{(x)}$ tem um domínio de

$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e existe dentro da imagem de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$

enquanto a derivada $latex f ‘(x) = \sec(x) \tan(x) $ tem domínio de

$$ \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e existe dentro da imagem de

$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais


Exemplos

A seguir estão alguns exemplos de como derivar as funções secante compostas com a regra da cadeia.

EXEMPLO 1

Encontre a derivada de $latex f(x) = \sec(10x)$.

Solução

EXEMPLO 2

Encontre a derivada de $latex F(x) = \sec(8x^2-4)$

Solução

EXEMPLO 3

Qual é a derivada de $latex f(x) = \sec(\sqrt{x})$?

Solução

Prática de derivadas de funções secante compostas

Prática de derivadas de secante
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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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