A derivada da função secante é igual à secante multiplicada pela tangente, sec(x)tan(x). Podemos provar esta derivada usando limites e identidades trigonométricas.
Neste artigo, vamos aprender como derivar a função trigonométrica secante. Vamos cobrir uma demonstração da derivada, uma comparação de gráficos da secante e sua derivada e alguns exemplos.
Prova da derivada da função secante
A função trigonométrica secante de um ângulo é definida como a razão entre a hipotenusa e o lado adjacente de um ângulo em um triângulo retângulo. Ilustrando-o através de uma figura, temos
onde C é 90°. Para o triângulo mostrado, a obtenção da secante do ângulo A pode ser avaliada como
$latex \sec{(A)} = \frac{c}{b}$
onde A é o ângulo, C é a hipotenusa e B é o lado adjacente.
Antes de aprender a Prova da Derivada da Função Secante, é recomendado que você aprenda o Teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa e Cho-Sha-Cao, e o Princípio dos Limites como pré-requisitos.
Lembre-se de que qualquer função pode ser derivada usando limites como segue
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
Suponha que temos que obter a derivada de
$latex f(x) = \sec{(x)}$
então temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sec{(x+h)} – \sec{(x)} }{h}}$$
Analisando nossa equação, podemos ver que tanto o primeiro quanto o segundo termos no numerador do limite são uma secante da soma de dois ângulos x e h e uma secante do ângulo x. Com esta observação, podemos tentar aplicar as identidades de relacionamento definidoras para secante e cosseno. Aplicando isso, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{1}{\cos{(x+h)}} – \frac{1}{\cos{(x)}} }{h}}$$
Reorganizando algebricamente aplicando algumas regras de fração, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{ \cos{(x)} – \cos{(x+h)} }{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \cos{(x)} – \cos{(x+h)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} }$$
Olhando para o numerador rearranjado, podemos tentar aplicar as identidades do produto-soma do cosseno.
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{x+(x+h)}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-(x+h)}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{x+x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-x-h}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{-h}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
Com base nas identidades trigonométricas de um seno de um ângulo negativo, isso é igual ao seno negativo desse mesmo ângulo, mas na forma positiva. Aplicando isso ao segundo multiplicando do numerador, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot \left( -\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \right) }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
Reorganizando algebricamente e aplicando o limite do produto de duas funções, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{\cos{(x+h)}\cos{(x)} \cdot h} \right)}$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \cdot \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$
Aplicando algumas regras de fração ao segundo multiplicando, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right)}$$
De acordo com os limites das funções trigonométricas, o limite da função trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ para $latex \theta$ quando $latex \theta$ se aproxima de zero é igual a um. O mesmo pode ser aplicado a $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Aplicando temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {1}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)}$$
Finalmente, tornamos possível avaliar o limite do que resta na equação. Avaliando substituindo o valor aproximado de $latex h$, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+(0)}{2}\right)} }{ \cos{(x+(0))}\cos{(x)} } \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x}{2}\right)} }{ \cos{(x)}\cos{(x)} } \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{\sin{(x)} }{ \cos{(x)}\cos{(x)} }$$
Aplicando algumas identidades trigonométricas para simplificar a fórmula derivada usando identidades de relações definidas, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{ \sin{(x)} }{ \cos{(x)} } \cdot \frac{1}{\cos{(x)}} $$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \tan{(x)} \cdot \sec{(x)} $$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \sec{(x)} \tan{(x)}$$
Portanto, a derivada da função trigonométrica ‘secante’ é:
$$\frac{d}{dx} (\sec{(x)}) = \sec{(x)} \tan{(x)}$$
Gráfico da secante de x vs. a derivada da secante de x
O gráfico da função
$latex f(x) = \sec{(x)}$
é
Diferenciando $latex f (x) = \sec(x)$, obtemos
$latex f'(x) = \sec{(x)}\tan{(x)}$
que é ilustrado graficamente como
Comparando os seus gráficos, temos
Podemos ver que a função original $latex f(x) = \sec{(x)}$ tem um domínio de
$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$
dentro dos intervalos finitos de
$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$
e existe dentro da imagem de
$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
enquanto a derivada $latex f ‘(x) = \sec(x) \tan(x) $ tem domínio de
$$ \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$
dentro dos intervalos finitos de
$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$
e existe dentro da imagem de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
Exemplos
A seguir estão alguns exemplos de como derivar as funções secante compostas com a regra da cadeia.
EXEMPLO 1
Encontre a derivada de $latex f(x) = \sec(10x)$.
Solução
A função secante dada é uma função composta, já que é um secante da função $latex 10x$. Então, vamos usar a regra da cadeia.
Se $latex u=10x$ é a função interna, temos $latex f(u)=\sec(u)$ e usando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\sec(u)\tan(u) \times 10$$
Finalmente, substituímos $latex u=10x$ de volta à função e temos:
$$\frac{dy}{dx}=10\sec(10x)\tan(10x)$$
EXEMPLO 2
Encontre a derivada de $latex F(x) = \sec(8x^2-4)$
Solução
Como temos uma função secante composta, temos de usar a regra da cadeia para a derivar.
Começamos expressando a função secante como $latex f (u) = \sec(u)$, onde $latex u = 8x^2-4$.
Depois, calculamos a derivada da função externa $latex f(u)$, ou seja, a derivada da função secante em termos de $latex u$:
$$\frac{d}{du} ( \sec{(u)} ) = \sec(u)\tan(u)$$
Agora, calculamos a derivada da função interna $latex g(x)$ ou $latex u$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(8x^2-4)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 16x$$
Usando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = \sec(u)\tan(u) \cdot 16x$$
Finalmente, substituímos $latex u=8x^2-4$ de volta:
$$\frac{dy}{dx} = \sec(8x^2-4)\tan(8x^2-4) \cdot 16x$$
$$\frac{dy}{dx} = 16x\sec(8x^2-4)\tan(8x^2-4)$$
EXEMPLO 3
Qual é a derivada de $latex f(x) = \sec(\sqrt{x})$?
Solução
Podemos derivar esta função considerando $latex u=\sqrt{x}$ como a função interna.
Então, começamos escrevendo $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$ para encontrar a derivada de $latex u$ em termos de $latex x$ :
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Agora, consideramos que $latex f(u)=\sec(u)$ e usamos a regra da cadeia:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\sec(u)\tan(u) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Substituindo $latex u=\sqrt{x}$ de volta e simplificando, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\sec(\sqrt{x})\tan(\sqrt{x}) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec(\sqrt{x})\tan(\sqrt{x})$$
Prática de derivadas de funções secante compostas
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
