Derivada de Cossecante, csc(x) – Fórmula, Prova e Gráficos

A derivada da função cossecante é igual a menos cossecante multiplicada pela cotangente, -csc(x) cot(x). Podemos provar esta derivada usando limites e identidades trigonométricas.

Neste artigo, aprenderemos como derivar a função trigonométrica cossecante, tanto em sua forma simples quanto em sua forma composta. Veremos uma prova de sua derivada, uma comparação gráfica de cossecante e sua derivada e alguns exemplos.

CÁLCULO
Derivado-de-cossecante-cscx

Relevante para

Aprender a prova e os gráficos da derivada da cossecante.

Ver prova

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Prova da derivada da função cossecante

A função trigonométrica cossecante de um ângulo é definida como a razão entre a hipotenusa e o lado oposto de um ângulo em um triângulo retângulo. Ilustrando-o através de uma figura, temos

triângulo-direita-ABC

onde C é 90°. Para o triângulo retângulo da amostra, a obtenção da cossecante do ângulo A pode ser avaliada como

$latex \csc{(A)} = \frac{c}{a}$

onde A é o ângulo, c é a hipotenusa e a é o lado oposto.

Antes de aprender a prova da derivada da função cossecante, recomenda-se aprender o teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa e Cho-Sha-Cao, e o primeiro princípio dos limites como pré-requisitos.

Lembre-se de que qualquer função pode ser diferenciada definindo-a igual ao limite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Suponha que temos que encontrar a derivada de

$latex f(x) = \csc{(x)}$

então temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \csc{(x+h)} – \csc{(x)} }{h}}$$

Analisando nossa equação, podemos ver que tanto o primeiro quanto o segundo termos no numerador do limite são uma cossecante da soma de dois ângulos x e h e uma cossecante do ângulo x. Com esta observação, podemos tentar aplicar as identidades de relações para cossecante e seno. Aplicando isso, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{1}{\sin{(x+h)}} – \frac{1}{\sin{(x)}} }{h}}$$

Reorganizando algebricamente aplicando algumas regras de fração, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }$$

Observando o numerador rearranjado, podemos aplicar as identidades da soma do produto do seno.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+(x+h)}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-(x+h)}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-x-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

Pelas identidades trigonométricas de um seno de um ângulo negativo, este é igual ao seno negativo da forma positiva do mesmo ângulo. Aplicando isso ao segundo multiplicando do numerador, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot \left( -\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \right) }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

Reorganizando algebricamente e aplicando o limite do produto de duas funções, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)} \cdot h} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \cdot \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

Aplicando algumas regras de fração ao segundo multiplicando, temos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right)}$$

De acordo com os limites das funções trigonométricas, o limite da função trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ para $latex \theta$ quando $latex \theta$ se aproxima de zero é igual a um. O mesmo pode ser aplicado a $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Aplicando temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {1}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)}$$

Finalmente, tornamos possível avaliar com sucesso o limite do que resta na equação. Avaliando substituindo o valor aproximado de $latex h$, temos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+(0)}{2}\right)} }{ \sin{(x+(0))}\sin{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x}{2}\right)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{-\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$

Aplicando algumas identidades trigonométricas para simplificar a fórmula derivada usando identidades de relações definidas, temos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{ \cos{(x)} }{ \sin{(x)} } \cdot \frac{1}{\sin{(x)}} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cot{(x)} \cdot \csc{(x)} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$

Portanto, a derivada da função trigonométrica ‘cossecante’ é:

$$\frac{d}{dx} (\csc{(x)}) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$


Gráfico de cossecante x vs. a derivada da cossecante x

Dada a função

$latex f(x) = \csc{(x)}$

seu gráfico é

Gráfico-de-cossecante-cscx

E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \csc{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$

que é ilustrado graficamente como

Plot-of-the-derivative-of-cscx

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

A partir da comparação gráfica, pode-se ver que a função original $latex f(x) = \csc{(x)}$ tem um domínio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

e existe dentro da imagem de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$

enquanto a derivada $latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$ tem domínio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

e existe dentro da imagem de

$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais


Exemplos

A seguir estão alguns exemplos de como usar a regra da cadeia para derivar funções cossecante compostas.

EXEMPLO 1

Qual é a derivada de $latex f(x) = \csc(8x)$?

Solução

EXEMPLO 2

Calcule a derivada de $latex F(x) = \csc(6x^2-3)$

Solução

EXEMPLO 3

Encontre a derivada de $latex f(x) = \csc(\sqrt{x})$

Solução

Prática de derivadas de funções de cossecante compostas

Prática de derivadas de cossecante
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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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