Derivada da secante quadrado, sec^2(x) – Demonstração e gráficos

Prova da derivada da função secante quadrado

Como pré-requisito, revise a fórmula da regra da cadeia e sua prova neste artigo: Regra da cadeia. Da mesma forma, você pode revisar a prova da derivada da função secante acessando este link: Derivada da Secante, sec(x).

Vamos lembrar disso

$latex \sec^{2}{(x)} \neq \sec{(x^2)}$

Por ser uma função composta, a fórmula da regra da cadeia é usada como uma ferramenta mais simples para provar a derivada da função secante ao quadrado.

Supondo que nos pedem para encontrar a derivada de

$latex F(x) = \sec^{2}{(x)}$

Podemos identificar as duas funções que compõem F(x). Há uma função de potência e uma função trigonométrica neste cenário. Para ser mais exato, é uma função elevada a uma potência de dois e uma função trigonométrica de secante, baseada em nosso dado F(x).

Para uma melhor representação, podemos reescrevê-la como

$latex F(x) = \sec^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\sec{(x)})^2$

Torna-se evidente que a função de potência dada é a função externa a ser considerada, enquanto a função secante, elevada pela função de potência dada, é a função interna. Podemos configurar a função externa da seguinte forma:

$latex f(u) = u^2$

onde

$latex u = \sec{(x)}$

A função secante trigonométrica, como função interna de f(u), será denotada como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \sec{(x)}$

Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica secante em termos de x, temos

$latex g(x) = \sec{(x)}$

$latex g'(x) = \sec{(x)}\tan{(x)}$

Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

Substituindo u em f‘(u), temos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\sec{(x)})) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(x)} \cdot \tan{(x)}$

o que nos leva à fórmula da derivada da secante ao quadrado x

$latex \frac{d}{dx} \sec^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

Relação entre a derivada da secante quadrado e a tangente quadrado, como elas são semelhantes?

Você pode se perguntar por que

$latex \sec^{2}{(x)}$

e também

$latex \tan^{2}{(x)}$

possuem derivadas semelhantes.

Lembre-se de que a identidade pitagórica para secantes e tangentes é

$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$

Assim, podemos derivar ambos os lados desta equação para obter:

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

A derivada de uma constante é igual a zero, então:

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

É por isso que tanto a secante ao quadrado quanto a tangente ao quadrado têm a mesma derivada, pela fórmula pitagórica para secantes e tangentes.

Gráfico da secante quadrado de x vs. derivada de secante ao quadrado x

O gráfico da função

$latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$

é

Se derivarmos a função $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$, temos

$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

e seu gráfico é

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Ao examinar esses gráficos, pode-se ver que a função original $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$ tem um domínio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e está dentro da imagem de

$latex [1,\infty)$

enquanto a derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tem domínio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e está dentro da imagem de

$latex (-\infty,\infty)$

Exemplos

Nos exemplos seguintes, podemos aprender a derivar as funções de secant quadrado composto.

Prática de derivadas de funções secantes quadrado

Veja também

Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas ao quadrado? Veja estas páginas:

• Derivada de cosseno quadrado, cos^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de seno quadrado, seno^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de tangente quadrado, tan^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de cossecante quadrado, csc^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de cotangente quadrado, cot^2(x) – Demonstração e gráficos