Derivada de cossecante quadrado, csc^2(x) – Demonstração e gráficos

Prova da derivada da cossecante quadrado com a regra da cadeia

Como pré-requisito, revise a fórmula da regra da cadeia e sua prova consultando o artigo: Regra da Cadeia. Da mesma forma, você pode revisar a prova da função derivada de cossecante visitando este artigo: Derivada de Cossecante, csc(x).

Vamos lembrar disso

$latex \csc^{2}{(x)} \neq \csc{(x^2)}$

Esta é uma função cossecante composta, portanto pode ser diferenciada usando a regra da cadeia. Então, começamos com a função:

$latex F(x) = \csc^{2}{(x)}$

Podemos identificar as duas funções que compõem F(x). Uma função é elevada a uma potência de dois e a outra é uma função trigonométrica de cossecante.

Se reescrevermos a função da seguinte maneira, podemos ver isso com mais clareza:

$latex F(x) = \csc^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\csc{(x)})^2$

Agora está claro que a função potência é a função externa, enquanto a função cossecante é a função interna. Podemos configurar a função externa da seguinte forma:

$latex f(u) = u^2$

onde

$latex u = \csc{(x)}$

A função cossecante trigonométrica, como função interna de f(u), será denotada como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \csc{(x)}$

Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica cossecante em termos de x, temos

$latex g(x) = \csc{(x)}$

$latex g'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$

Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$

Substituindo u em f‘(u), temos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\csc{(x)})) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -(2(\csc{(x)})) \cdot (\csc{(x)}\cot{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\csc^{2}{(x)} \cdot \cot{(x)}$

o que nos leva à fórmula da derivada da cossecante ao quadrado x

$latex \frac{d}{dx} \csc^{2}{(x)} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

Relação entre a derivada da cossecante quadrado e a cotangente quadrado

Talvez você se pergunte por que

$latex \csc^{2}{(x)}$

e

$latex \cot^{2}{(x)}$

têm derivadas semelhantes.

De acordo com a fórmula pitagórica para cossecantes e cotangentes,

$latex \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)}$

Se tentarmos derivar os dois lados da equação, teremos

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Avaliando a derivada do primeiro termo do lado direito da equação, onde a derivada é zero, temos

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

É por isso que tanto a cossecante ao quadrado quanto a cotangente ao quadrado têm a mesma derivada, pela fórmula pitagórica de cossecantes e cotangentes.

Gráfico de cossecante quadrado de x vs. a derivada da cossecante quadrado x

Dada a função

$latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$

seu gráfico é

Como já sabemos, diferenciar $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ é

$latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

que é grafado como

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Examinando as diferenças entre essas funções com base nos gráficos acima, você pode ver que a função original $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ tem um domínio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

e está dentro da imagem de

$latex [1,\infty)$

enquanto a derivada $latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$ tem um domínio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

e está dentro da imagem de

$latex (-\infty,\infty)$

Exemplos

Nos exemplos seguintes, podemos ver como derivar uma função cossecante composta quadrado.

Prática de derivadas de funções cossecante quadrado

Veja também

Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas ao quadrado? Veja estas páginas:

• Derivada de cosseno quadrado, cos^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de seno quadrado, seno^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de tangente quadrado, tan^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada da secante quadrado, sec^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de cotangente quadrado, cot^2(x) – Demonstração e gráficos