Derivada de cossecante quadrado, csc^2(x) – Demonstração e gráficos

A derivada de cossecante ao quadrado é igual a menos dois cotangente multiplicada pela cossecante ao quadrado, -2cot(x)csc2(x). Podemos encontrar essa derivada usando a regra da cadeia e as derivadas das funções trigonométricas fundamentais.

Aqui, veremos uma prova desta derivada, a comparação gráfica da cossecante quadrado e sua derivada, e alguns exemplos.

CÁLCULO
Derivada de cossecante ao quadrado

Relevante para

Aprender a encontrar a derivada da cossecante ao quadrado.

Ver prova

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Derivada de cossecante ao quadrado

Relevante para

Aprender a encontrar a derivada da cossecante ao quadrado.

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Prova da derivada da cossecante quadrado com a regra da cadeia

Como pré-requisito, revise a fórmula da regra da cadeia e sua prova consultando o artigo: Regra da Cadeia. Da mesma forma, você pode revisar a prova da função derivada de cossecante visitando este artigo: Derivada de Cossecante, csc(x).

Vamos lembrar disso

$latex \csc^{2}{(x)} \neq \csc{(x^2)}$

Esta é uma função cossecante composta, portanto pode ser diferenciada usando a regra da cadeia. Então, começamos com a função:

$latex F(x) = \csc^{2}{(x)}$

Podemos identificar as duas funções que compõem F(x). Uma função é elevada a uma potência de dois e a outra é uma função trigonométrica de cossecante.

Se reescrevermos a função da seguinte maneira, podemos ver isso com mais clareza:

$latex F(x) = \csc^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\csc{(x)})^2$

Agora está claro que a função potência é a função externa, enquanto a função cossecante é a função interna. Podemos configurar a função externa da seguinte forma:

$latex f(u) = u^2$

onde

$latex u = \csc{(x)}$

A função cossecante trigonométrica, como função interna de f(u), será denotada como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \csc{(x)}$

Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica cossecante em termos de x, temos

$latex g(x) = \csc{(x)}$

$latex g'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$

Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$

Substituindo u em f‘(u), temos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\csc{(x)})) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -(2(\csc{(x)})) \cdot (\csc{(x)}\cot{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\csc^{2}{(x)} \cdot \cot{(x)}$

o que nos leva à fórmula da derivada da cossecante ao quadrado x

$latex \frac{d}{dx} \csc^{2}{(x)} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$


Relação entre a derivada da cossecante quadrado e a cotangente quadrado

Talvez você se pergunte por que

$latex \csc^{2}{(x)}$

e

$latex \cot^{2}{(x)}$

têm derivadas semelhantes.

De acordo com a fórmula pitagórica para cossecantes e cotangentes,

$latex \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)}$

Se tentarmos derivar os dois lados da equação, teremos

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Avaliando a derivada do primeiro termo do lado direito da equação, onde a derivada é zero, temos

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

É por isso que tanto a cossecante ao quadrado quanto a cotangente ao quadrado têm a mesma derivada, pela fórmula pitagórica de cossecantes e cotangentes.


Gráfico de cossecante quadrado de x vs. a derivada da cossecante quadrado x

Dada a função

$latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$

seu gráfico é

Gráfico-de-cossecante-quadrado-csc^2x

Como já sabemos, diferenciar $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ é

$latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

que é grafado como

Plot-of-the-derivative-of-csc^2x

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Gráfico de cossecante-quadrado e sua derivada

Examinando as diferenças entre essas funções com base nos gráficos acima, você pode ver que a função original $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ tem um domínio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

e está dentro da imagem de

$latex [1,\infty)$

enquanto a derivada $latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$ tem um domínio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro dos intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

e está dentro da imagem de

$latex (-\infty,\infty)$


Exemplos

Nos exemplos seguintes, podemos ver como derivar uma função cossecante composta quadrado.

EXEMPLO 1

Determine a derivada da função $latex f(x) = \csc^2(15x)$.

Solução

EXEMPLO 2

Encontre a derivada da função $latex F(x) = \csc^2(6x^3-8x)$

Solução

Prática de derivadas de funções cossecante quadrado

Prática de derivadas de cossecante quadrado
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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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