Derivada de cosseno quadrado, cos^2(x) – Demonstração e gráficos

Prova da derivada do cosseno quadrado usando a regra da cadeia

Se precisar, recomendamos revisar a fórmula da regra da cadeia, como pré-requisito para este tópico, acessando este link: Regra da Cadeia. Além disso, você pode visitar este outro link para a demonstração da derivada do cosseno: Derivada do cosseno, cos(x).

Tem em conta que

$latex \cos^{2}{(x)} \neq \cos{(x^2)}$

Por ser uma função composta, a fórmula da regra da cadeia é usada para encontrar a derivada da função cosseno quadrado.

Então, começamos com a função:

$latex F(x) = \cos^{2}{(x)}$

Podemos identificar as duas funções que compõem F(x). Há uma função de potência e uma função trigonométrica neste cenário.

Para uma representação mais fácil, podemos reescrever como

$latex F(x) = \cos^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\cos{(x)})^2$

Agora é muito claro que a função de potência dada é a função externa, enquanto a função cosseno ao quadrado vezes a função de potência dada é a função interna. Podemos definir a função externa como

$latex f(u) = u^2$

onde

$latex u = \cos{(x)}$

Definindo a função cosseno trigonométrica como a função interna de f(u) denotando-a como g(x), temos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \cos{(x)}$

Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica cosseno em termos de x, temos

$latex g(x) = \cos{(x)}$

$latex g'(x) = -\sin{(x)}$

Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\sin{(x)})$

Substituindo u em f‘(u), temos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\cos{(x)})) \cdot (-\sin{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\cos{(x)}\sin{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\sin{(x)}\cos{(x)}$

Aplicando as identidades de ângulos duplos, temos

$latex \frac{dy}{dx} = -(2\sin{(x)}\cos{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -(\sin{(2x)})$

Isso nos leva à fórmula da derivada do cosseno ao quadrado x.

$latex \frac{d}{dx} \cos^{2}{(x)} = -\sin{(2x)}$

Gráfico de cosseno quadrado de x vs. a derivada do cosseno quadrado de x

O gráfico da função

$latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$

é

Quando derivamos a função $latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$, obtemos

$latex f'(x) = -\sin{(2x)}$

que tem o seguinte gráfico

Comparando seus gráficos, temos:

Usando esses gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$ tem um domínio de

$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais

e existe dentro da imagem de

$latex [0,1]$

enquanto a derivada $latex f'(x) = -\sin{(2x)}$ tem domínio de

$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais

e existe dentro da imagem de

$latex [-1,1]$

Exemplos

Nos exemplos seguintes, podemos aprender a derivar as funções compostas de cosseno quadrado.

Prática de derivadas de funções cosseno quadrado

Veja também

Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas ao quadrado? Veja estas páginas:

• Derivada de seno quadrado, seno^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de tangente quadrado, tan^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada da secante quadrado, sec^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de cossecante quadrado, csc^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de cotangente quadrado, cot^2(x) – Demonstração e gráficos