Regra da Cadeia das Derivadas – Fórmula e Exemplos

A Regra da Cadeia é uma das técnicas das derivadas mais comuns aplicadas no Cálculo Diferencial (ou Cálculo I). Esta regra é usada para derivar uma composição de funções. A regra da cadeia pode ser provada usando um dos pilares do cálculo, os limites.

Neste artigo, exploraremos tudo sobre a regra da cadeia. Abordaremos sua definição, fórmula e aplicações. Também veremos alguns exemplos e problemas práticos para aplicar os princípios da regra da cadeia.

CÁLCULO
Fórmula da regra da cadeia das derivadas

Relevante para

Aprender sobre a regra da cadeia com exemplos.

Ver fórmula

CÁLCULO
Fórmula da regra da cadeia das derivadas

Relevante para

Aprender sobre a regra da cadeia com exemplos.

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A regra da cadeia e a sua fórmula

O que é a regra da cadeia de derivadas?

A regra da cadeia é definida como a derivada de uma composição de pelo menos dois tipos diferentes de funções como, por exemplo:

$$y’ = \frac{d}{dx}[f \left( g(x) \right)]$$

onde g(x) é o domínio da função f(u).

Também podemos chamar a função f como a função externa e a função g como a função interna. Nesta composição, f(x) e g(x) devem ser dois tipos diferentes de funções que não podem ser avaliadas algebricamente num único tipo de função.

Lembre-se de que uma composição de funções pode ser considerada uma função dentro de uma função ou como uma função de outra função.

A fórmula da regra da cadeia das derivadas

A fórmula da regra da cadeia pode ser expressa verbalmente como a derivada da função externa f multiplicada pela derivada da função interna g. A função interna g é o domínio da derivada da função externa f.

A fórmula da regra da cadeia pode ser ilustrada da seguinte forma:

$$\frac{d}{dx} (f(g(x))) = \frac{d}{dx} (f(g(x))) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

onde derivamos f(g(x)) usando o método da função f e usando g(x) como domínio da função f e depois multiplicando a derivada da função f pela derivada de g(x).

De outra forma, também pode ser ilustrado como:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

onde

  • $latex f(u) =$ a função externa
  • $latex u = g(x)$, o domínio da função externa $latex f(u)$
  • $latex \frac{dy}{du} =$ a derivada da função externa $latex f(u)$ em termos de $latex u$
  • $latex \frac{du}{dx} =$ la derivada da função interna $latex g(x)$ em termos de $latex x$

Para mais informações sobre como provar a regra da cadeia usando limites, visite o nosso artigo sobre como provar a regra da cadeia.


Como utilizar a regra de cadeia, um tutorial passo-a-passo

Suponhamos que temos de derivar

$latex H(x) = \sin{(x^3)}$

Como se pode ver, esta dada função pode ser considerada uma função composta. Portanto, podemos utilizar a fórmula da regra da cadeia para derivar este problema.

1. Escrevemos a fórmula para a regra da cadeia como uma referência:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$$

Pode utilizar qualquer forma da fórmula da regra da cadeia.

2. Identificar as funções externas e internas.

Se considerarmos a função interna como $latex g(x) = u=x^3$, então

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = \sin{(u)}$

3. Aplicar a fórmula da regra da cadeia.

$$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(\sin{(u)}) \cdot \frac{d}{dx}(x^3)$$

$$\frac{d}{dx} H(x) = (\cos{(u)}) \cdot (3x^2)$$

4. Substituir a função interna $latex g(x)=u=x^3$ na equação derivada:

$$\frac{d}{dx} H(x) = (\cos{(x^3)}) \cdot (3x^2)$$

5. Simplificar a derivada obtida:

$$\frac{d}{dx} H(x) = 3x^2 \cdot \cos{(x^3)}$$

$latex H'(x) = 3x^2 \cos{(x^3)}$


Regra da cadeia – Exemplos com respostas

EXEMPLO 1

Derivar a seguinte função:

$latex H(x) = (12x+6)^{24}$

Solução

EXEMPLO 2

Encontrar a derivada da função dada.

$latex f(x) = \sqrt[12]{6x-3}$

Solução

EXEMPLO 3

Derivar a seguinte função:

$latex \cos{(12x^2+6x-3)}$

Solução

EXEMPLO 4

Qual é a derivada da função dada?

$latex \csc{\ln{(12x+6)}}$

Solução

EXEMPLO 5

Deriva o seguinte:

$latex e^{\sin^{2}{(6x-3)}}$

Solução

Regra da cadeia derivada – Problemas práticos

Prática de regra da cadeia das derivadas
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Obtenha a derivada de $latex f(x) = \ln{(e^x)}$

Escreva a resposta na caixa.

$latex f'(x)=$

Veja também

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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